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Linearkombination von Vektoren einfach erklärt
Bei einer Linearkombination multiplizierst du Vektoren mit Zahlen und addierst die Ergebnisse. Um einen Zielvektor darzustellen, suchst du passende Koeffizienten mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Linearkombination?
Linearkombination
Für Vektoren $v_1, v_2, …, v_n$ und reelle Zahlen $λ_1, λ_2, …, λ_n$ heißt
$$λ_1v_1 + λ_2v_2 + … + λ_nv_n$$
eine Linearkombination. Die Zahlen $λ_i$ heißen Koeffizienten. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Ein Koeffizient darf positiv, negativ oder null sein. Bei $λ_i=0$ trägt der betreffende Vektor nichts zum Ergebnis bei.
Gegeben sind $v_1=(2,5)$ und $v_2=(3,0)$. Berechne $2v_1-3v_2$:
$$2(2,5)-3(3,0)=(4,10)-(9,0)=(-5,10)$$
Jede Koordinate wird mit dem zugehörigen Koeffizienten multipliziert. Danach werden die Vektoren koordinatenweise addiert.
Wie stellst du einen Zielvektor dar?
Gesucht sind Koeffizienten, für die ein Zielvektor $v$ die Gleichung
$$v=λ_1v_1+λ_2v_2+…+λ_nv_n$$
erfüllt. Vergleiche dazu die Koordinaten. So entsteht ein lineares Gleichungssystem.
Gesucht ist eine Darstellung von $(1,4,6)$ durch
$$v_1=(1,2,1),\quad v_2=(1,1,1),\quad v_3=(2,1,1).$$
Der Ansatz lautet:
$$(1,4,6)=λ_1(1,2,1)+λ_2(1,1,1)+λ_3(2,1,1)$$
Der Koordinatenvergleich liefert:
- $1=λ_1+λ_2+2λ_3$
- $4=2λ_1+λ_2+λ_3$
- $6=λ_1+λ_2+λ_3$
Subtrahiere Gleichung 3 von Gleichung 1. Dann folgt $λ_3=-5$.
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt $λ_1-λ_3=3$. Mit $λ_3=-5$ erhältst du $λ_1=-2$.
Setze beide Werte in Gleichung 3 ein:
$$-2+λ_2-5=6$$
Daraus folgt $λ_2=13$. Somit gilt:
$$(1,4,6)=-2v_1+13v_2-5v_3$$
Die Probe ergibt in den drei Koordinaten tatsächlich $1$, $4$ und $6$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst setzt du den als Linearkombination an. Durch den Vergleich der entsteht ein . Seine Lösungen sind die gesuchten Koeffizienten.
Woran erkennst du, ob eine Darstellung möglich ist?
Spann
Der Spann von $v_1, …, v_n$ ist die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lassen.
Das Gleichungssystem für die Koeffizienten kann drei Arten von Ergebnissen haben:
- Genau eine Lösung: Der Zielvektor besitzt genau eine Darstellung.
- Mehrere Lösungen: Es gibt mehrere passende Koeffizientensätze.
- Keine Lösung: Der Zielvektor liegt nicht im Spann der Ausgangsvektoren.
Geometrisch können zwei nicht kollineare Vektoren im dreidimensionalen Raum eine Ebene aufspannen. Ein Vektor außerhalb dieser Ebene lässt sich nicht aus ihnen zusammensetzen.
Ein Zielvektor liegt genau dann im Spann der Ausgangsvektoren, wenn das zugehörige Gleichungssystem mindestens eine Lösung besitzt.
Warum entscheidet Unabhängigkeit über Eindeutigkeit?
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $v_1, …, v_n$ sind linear unabhängig, wenn
$$λ_1v_1+…+λ_nv_n=0$$
nur für $λ_1=…=λ_n=0$ gilt. Diese Lösung heißt trivial.
Gibt es eine Lösung der Nullvektorgleichung, bei der nicht alle Koeffizienten null sind, heißen die Vektoren linear abhängig.
Eine vorhandene Darstellung ist genau dann eindeutig, wenn die Ausgangsvektoren linear unabhängig sind. Bei abhängigen Vektoren kann eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors zu einer vorhandenen Darstellung addiert werden. Dadurch entstehen weitere Koeffizientensätze für denselben Zielvektor.
In einem dreidimensionalen Vektorraum sind vier Vektoren immer linear abhängig. Allgemein können in einem Raum der Dimension $d$ höchstens $d$ Vektoren linear unabhängig sein.
Welche besonderen Linearkombinationen gibt es?
Bei gewöhnlichen Linearkombinationen dürfen die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen sein. Zusätzliche Bedingungen führen zu Spezialfällen:
- Konische Linearkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null.
- Affine Kombination: Die Summe aller Koeffizienten ist $1$.
- Konvexkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null und ihre Summe ist $1$.
Für zwei Vektoren liegen ihre Konvexkombinationen auf der Strecke zwischen den beiden Vektoren.
Eine Konvexkombination ist zugleich konisch und affin. Eine affine Kombination muss dagegen nicht konvex sein, weil sie negative Koeffizienten enthalten darf.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Linearkombination
- Berechnen: Vektoren skalieren und Koordinaten addieren
- Zielvektor darstellen: Koeffizienten ansetzen und Gleichungssystem lösen
- Spann: mindestens eine Lösung des Gleichungssystems
- Lineare Unabhängigkeit: nur triviale Nullvektordarstellung
- Eindeutigkeit: unabhängige Ausgangsvektoren
- Spezialfälle: konisch, affin und konvex