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Linearkombination von Vektoren einfach erklärt
Wie setzt du einen Vektor aus vorgegebenen Vektoren zusammen? Bei einer Linearkombination multiplizierst du Vektoren mit Zahlen und addierst die Ergebnisse. Um einen Zielvektor darzustellen, suchst du passende Koeffizienten mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Linearkombination?
Linearkombination
Für Vektoren $v_1, v_2, …, v_n$ aus demselben reellen Vektorraum und reelle Zahlen $λ_1, λ_2, …, λ_n$ heißt
$$λ_1v_1 + λ_2v_2 + … + λ_nv_n$$
eine Linearkombination. Die Zahlen $λ_i$ heißen Koeffizienten. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Hier schreibst du Koordinatenvektoren platzsparend als Tupel, etwa $(2,5)$. Alle Vektoren einer Linearkombination müssen gleich viele Koordinaten haben.
Ein Koeffizient darf positiv, negativ oder null sein. Bei $λ_i=0$ trägt der betreffende Vektor nichts zum Ergebnis bei.
Gegeben sind $v_1=(2,5)$ und $v_2=(3,0)$. Berechne $2v_1-3v_2$:
$$2(2,5)-3(3,0)=(4,10)-(9,0)=(-5,10)$$
Jede Koordinate wird mit dem zugehörigen Koeffizienten multipliziert. Danach werden die Vektoren koordinatenweise addiert.
Wie stellst du einen Zielvektor dar?
Gesucht sind Koeffizienten, für die ein Zielvektor $v$ die Gleichung
$$v=λ_1v_1+λ_2v_2+…+λ_nv_n$$
erfüllt. Vergleiche dazu die Koordinaten. So entsteht ein lineares Gleichungssystem.
Gesucht ist eine Darstellung von $(1,4,6)$ durch
$$v_1=(1,2,1),\quad v_2=(1,1,1),\quad v_3=(2,1,1).$$
Der Ansatz lautet:
$$(1,4,6)=λ_1(1,2,1)+λ_2(1,1,1)+λ_3(2,1,1)$$
Der Koordinatenvergleich liefert:
- $1=λ_1+λ_2+2λ_3$
- $4=2λ_1+λ_2+λ_3$
- $6=λ_1+λ_2+λ_3$
Subtrahiere Gleichung 3 von Gleichung 1. Dann folgt $λ_3=-5$.
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt $λ_1-λ_3=3$. Mit $λ_3=-5$ erhältst du $λ_1=-2$.
Setze beide Werte in Gleichung 3 ein:
$$-2+λ_2-5=6$$
Daraus folgt $λ_2=13$. Somit gilt:
$$(1,4,6)=-2v_1+13v_2-5v_3$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$(-2,-4,-2)+(13,13,13)+(-10,-5,-5)=(1,4,6)$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst setzt du den als Linearkombination an. Durch den Vergleich der entsteht ein . Seine Lösungen sind die gesuchten Koeffizienten.
Woran erkennst du, ob eine Darstellung möglich ist?
Spann
Der Spann von $v_1, …, v_n$ ist die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lassen.
Das Gleichungssystem für die Koeffizienten kann drei Arten von Ergebnissen haben:
- Genau eine Lösung: Der Zielvektor besitzt genau eine Darstellung.
- Unendlich viele Lösungen: Es gibt einen frei wählbaren reellen Parameter oder mehrere davon und damit unendlich viele passende Koeffizientensätze.
- Keine Lösung: Der Zielvektor liegt nicht im Spann der Ausgangsvektoren.
Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Zwei nicht kollineare Vektoren spannen im dreidimensionalen Raum eine Ebene durch den Ursprung auf. Zeichnest du die Vektoren als Pfeile vom Ursprung aus, liegen die Spitzen aller ihrer Linearkombinationen in dieser Ebene. Ein Zielvektor mit einer Spitze außerhalb der Ebene lässt sich nicht aus ihnen zusammensetzen.
Ein Zielvektor liegt genau dann im Spann der Ausgangsvektoren, wenn das zugehörige Gleichungssystem mindestens eine Lösung besitzt.
Warum entscheidet Unabhängigkeit über Eindeutigkeit?
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $v_1, …, v_n$ sind linear unabhängig, wenn
$$λ_1v_1+…+λ_nv_n=0$$
nur für $λ_1=…=λ_n=0$ gilt. Rechts steht der Nullvektor, dessen Koordinaten alle null sind. Diese Koeffizientenwahl heißt trivial.
Gibt es eine Lösung der Nullvektorgleichung, bei der nicht alle Koeffizienten null sind, heißen die Vektoren linear abhängig.
Eine vorhandene Darstellung ist genau dann eindeutig, wenn die Ausgangsvektoren linear unabhängig sind. Bei abhängigen Vektoren kann eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors zu einer vorhandenen Darstellung addiert werden. Auch jedes reelle Vielfache dieser Nullvektordarstellung kannst du addieren. Dadurch entstehen unendlich viele Koeffizientensätze für denselben Zielvektor.
Umgekehrt liefert die Differenz zweier verschiedener Darstellungen eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. Bei unabhängigen Ausgangsvektoren ist das ausgeschlossen.
Typischer Fehler: Unabhängigkeit allein bedeutet nicht, dass jeder Vektor im umgebenden Raum darstellbar ist. Zuerst prüfst du, ob der Zielvektor im Spann liegt; erst dann geht es um die Eindeutigkeit.
In einem dreidimensionalen Vektorraum sind vier Vektoren immer linear abhängig. Allgemein können in einem Raum der Dimension $d$ höchstens $d$ Vektoren linear unabhängig sein. Die Dimension gibt die Anzahl der unabhängigen Richtungen an.
Welche besonderen Linearkombinationen gibt es?
Bei gewöhnlichen Linearkombinationen dürfen die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen sein. Zusätzliche Bedingungen führen zu Spezialfällen:
- Konische Linearkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null.
- Affine Kombination: Die Summe aller Koeffizienten ist $1$.
- Konvexkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null und ihre Summe ist $1$.
Zeichnest du zwei Vektoren als Pfeile vom selben Ursprung aus, liegen die Spitzen ihrer Konvexkombinationen auf der Strecke zwischen den beiden Pfeilspitzen, einschließlich der Endpunkte.
Eine Konvexkombination ist zugleich konisch und affin. Eine affine Kombination muss dagegen nicht konvex sein, weil sie negative Koeffizienten enthalten darf.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Linearkombination
- Berechnen: Vektoren skalieren und Koordinaten addieren
- Zielvektor darstellen: Koeffizienten ansetzen und Gleichungssystem lösen
- Spann: mindestens eine Lösung des Gleichungssystems
- Lineare Unabhängigkeit: nur triviale Nullvektordarstellung
- Eindeutigkeit: bei vorhandener Darstellung und unabhängigen Ausgangsvektoren
- Spezialfälle: konisch, affin und konvex