Mit Google fortfahren
Mit Linearkombinationen baust du neue Vektoren aus vorhandenen Vektoren. Das ist ein Schlüsselwerkzeug für Geraden, Ebenen, Spannräume und lineare Abhängigkeit.
- Ich kann erklären, was eine Linearkombination ist.
- Ich kann Vektoren mit Faktoren kombinieren.
- Ich kann prüfen, ob ein Vektor als Linearkombination darstellbar ist.
- Ich kann lineare Abhängigkeit grundlegend deuten.
Vektoren kombinieren
Eine Linearkombination entsteht, wenn du Vektoren mit Zahlen multiplizierst und addierst.
Linearkombination
Ein Vektor \(\vec v\) ist eine Linearkombination von \(\vec a\) und \(\vec b\), wenn es Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit \(\vec v=r\vec a+s\vec b\).
Mit \(\vec a=(1,0)\) und \(\vec b=(0,1)\) gilt \((3,4)=3\vec a+4\vec b\).
Die Zahlen vor den Vektoren heißen Koeffizienten. Sie steuern Richtung und Länge des Beitrags.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Prüfen mit Gleichungen
Um zu prüfen, ob ein Vektor darstellbar ist, setzt du Koordinaten gleich.
Ist \((5,7)\) eine Linearkombination von \(\vec a=(1,1)\) und \(\vec b=(2,3)\)?
\(r(1,1)+s(2,3)=(5,7)\) ergibt \(r+2s=5\) und \(r+3s=7\). Subtraktion liefert \(s=2\), dann \(r=1\). Also \((5,7)=1\vec a+2\vec b\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Lineare Abhängigkeit
Vektoren sind linear abhängig, wenn einer aus den anderen als Linearkombination gebaut werden kann.
Lineare Abhängigkeit
Vektoren heißen linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination gibt, die den Nullvektor ergibt. Anschaulich bringt mindestens ein Vektor keine neue Richtung.
\((2,4)\) ist das Doppelte von \((1,2)\). Die beiden Vektoren sind linear abhängig, weil einer nur ein Vielfaches des anderen ist.
Prüfungsmodus
Achte auf die Frage: „darstellen“, „im Spann“, „linear abhängig“ und „Parameter finden“ meinen verwandte, aber nicht identische Aufgaben.
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Abschluss-Check
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Zusammenfassung
Eine Linearkombination ist eine Summe aus Vielfachen von Vektoren. Über Koordinatenvergleich findest du die Koeffizienten. Das Konzept erklärt Spann, Darstellbarkeit und lineare Abhängigkeit.