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Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit prüfen
Vektoren sind linear abhängig, wenn sich mindestens einer aus den anderen zusammensetzen lässt. Sind sie linear unabhängig, trägt jeder Vektor eine Richtung bei, die nicht durch die übrigen ersetzt werden kann.
Auf dieser Seite lernst du, beide Fälle zu erkennen und rechnerisch sicher zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet lineare Abhängigkeit?
Eine Linearkombination entsteht, wenn du Vektoren mit Zahlen multiplizierst und anschließend addierst.
Lineare Abhängigkeit
Die Vektoren $v_1,\dots,v_n$ sind linear abhängig, wenn es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gibt, die nicht alle null sind, sodass
$$\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n=0$$
gilt. Eine solche Darstellung heißt nichttriviale Nullkombination.
Sind die Vektoren linear unabhängig, kann die Gleichung nur mit
$$\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$$
erfüllt werden. Das ist die triviale Lösung.
Für $u=(1,0,1)$, $v=(0,1,1)$ und $w=(1,1,2)$ gilt $w=u+v$. Deshalb ist
$$u+v-w=0$$
eine nichttriviale Nullkombination. Die Koeffizienten $1$, $1$ und $-1$ sind nicht alle null. Die drei Vektoren sind linear abhängig.
Abhängigkeit erkennst du an mindestens einer nichttrivialen Lösung. Unabhängigkeit musst du dadurch zeigen, dass nur die triviale Lösung möglich ist.
Welche Fälle erkennst du sofort?
Einige Familien kannst du ohne längere Rechnung beurteilen:
- Enthält die Familie den Nullvektor, ist sie linear abhängig.
- Ein einzelner Vektor ist genau dann unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist.
- Mehr als $n$ Vektoren in $\mathbb R^n$ sind immer abhängig.
- Daher sind drei Vektoren in $\mathbb R^2$ und vier Vektoren in $\mathbb R^3$ stets abhängig.
Bei zwei Vektoren hilft der Vielfachentest. Zwei von null verschiedene Vektoren sind abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Geometrisch zeigen sie dann entlang derselben Geraden.
Gegeben sind $a=(4,2,1)$ und $b=(8,4,2)$. In jeder Komponente gilt
$$a=\frac{1}{2}b.$$
Damit sind $a$ und $b$ linear abhängig.
Für $c=(2,1,0)$ und $d=(3,2,4)$ entsteht dagegen kein gemeinsamer Faktor: Aus der ersten Komponente würde $\lambda=\frac{2}{3}$ folgen, aus der zweiten $\lambda=\frac{1}{2}$ und aus der dritten $\lambda=0$. Deshalb sind $c$ und $d$ unabhängig.
Wie prüfst du mehrere Vektoren rechnerisch?
Für mehrere Vektoren verwendest du immer dieselbe Grundidee:
- Setze die Linearkombination gleich dem Nullvektor.
- Vergleiche die Komponenten und stelle ein homogenes lineares Gleichungssystem auf. Homogen bedeutet, dass auf der rechten Seite nur Nullen stehen.
- Löse das System, zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren.
- Entscheide anhand der Lösungen: nur die triviale Lösung bedeutet unabhängig; eine nichttriviale Lösung bedeutet abhängig.
Untersuche
$$a=(1,2,3),\quad b=(1,5,1),\quad c=(3,1,3).$$
Der Ansatz lautet
$$\lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c=0.$$
Der Komponentenvergleich ergibt
$$\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=0,$$
$$2\lambda_1+5\lambda_2+\lambda_3=0,$$
$$3\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=0.$$
Beim Gauß-Verfahren werden Gleichungen so kombiniert, dass nacheinander Variablen verschwinden. Für dieses System entsteht eine gestaffelte Form mit
$$-28\lambda_3=0.$$
Daraus folgt zuerst $\lambda_3=0$. Rückwärtseinsetzen liefert dann $\lambda_2=0$ und schließlich $\lambda_1=0$.
Es gibt nur die triviale Lösung. Daher sind $a$, $b$ und $c$ linear unabhängig.
Beim Gauß-Verfahren ist nicht eine Nullzeile allein das allgemeine Entscheidungskriterium. Entscheidend ist, ob das homogene System freie Variablen und damit nichttriviale Lösungen besitzt. Gleichwertig kannst du prüfen, ob jede Spalte eine Pivotposition erhält.
Wann hilft die Determinante?
Besteht die Spaltenmatrix $A$ aus genau $n$ Vektoren des $\mathbb R^n$, ist sie quadratisch. Dann liefert die Determinante eine schnelle Entscheidung:
- $\det(A)\ne 0$: Die Vektoren sind linear unabhängig.
- $\det(A)=0$: Die Vektoren sind linear abhängig.
Für die drei Vektoren aus dem vorherigen Kapitel lautet die Spaltenmatrix
$$A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&5&1\\3&1&3\end{pmatrix}.$$
Die Berechnung ergibt
$$\det(A)=1\cdot5\cdot3+2\cdot1\cdot3+3\cdot1\cdot1-3\cdot5\cdot3-1\cdot1\cdot1-2\cdot1\cdot3=-28.$$
Weil $-28\ne0$ gilt, sind die drei Vektoren unabhängig. Das bestätigt das Ergebnis des Gauß-Verfahrens.
Der Determinantentest gilt nur für eine quadratische Matrix. Das Gleichungssystem funktioniert dagegen auch bei einer nicht quadratischen Matrix.
Wie hängen Unabhängigkeit und Basis zusammen?
Eine Basis eines Vektorraums erfüllt zwei Bedingungen:
- Ihre Vektoren sind linear unabhängig.
- Ihre Vektoren spannen den ganzen Raum auf, das heißt: Jeder Vektor des Raums lässt sich aus ihnen linear kombinieren.
Drei unabhängige Vektoren bilden eine Basis des $\mathbb R^3$. Zwei unabhängige Vektoren bilden eine Basis des $\mathbb R^2$.
Mit einer Basis ist die Darstellung jedes Vektors eindeutig. Gäbe es zwei verschiedene Darstellungen desselben Vektors, könnte man sie voneinander abziehen. Es entstünde eine nichttriviale Nullkombination der Basisvektoren – im Widerspruch zu ihrer Unabhängigkeit.
Die zuvor untersuchten Vektoren $a$, $b$ und $c$ sind unabhängig und bilden deshalb eine Basis des $\mathbb R^3$. Für $v=(4,0,6)$ gilt eindeutig
$$v=a-\frac{9}{14}b+\frac{17}{14}c.$$
Eine Komponentenprobe ergibt wieder $(4,0,6)$. Der Vektor $v$ liegt also im Spann der Basisvektoren.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Triviale Lösung falsch deuten: Sie existiert immer. Erst eine zusätzliche nichttriviale Lösung beweist Abhängigkeit.
- Verschiedene Vektoren für unabhängig halten: Auch verschieden aussehende Vektoren können Vielfache voneinander sein.
- Nur eine Komponente vergleichen: Beim Vielfachentest muss derselbe Faktor in allen Komponenten funktionieren.
- Eine Nullzeile vorschnell deuten: Prüfe beim Gauß-Verfahren freie Variablen und Pivotpositionen.
- Die Determinante bei einer nicht quadratischen Matrix verwenden: Nutze dort das homogene Gleichungssystem.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
- Definition
- nichttriviale oder nur triviale Nullkombination
- Schnelle Prüfung
- Nullvektor, Dimensionsregel, Vielfachentest
- Allgemeine Prüfung
- homogenes Gleichungssystem und Gauß-Verfahren
- Quadratischer Fall
- Determinante
- Anwendung
- Basis und eindeutige Darstellung
- Definition
Abschluss-Check
Du kannst lineare Abhängigkeit nun auf drei Ebenen prüfen: zuerst mit schnellen Sonderfällen, dann allgemein mit dem homogenen Gleichungssystem und bei quadratischen Matrizen alternativ mit der Determinante.