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Vektoren einfach erklärt: Rechnen im Raum
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: Seine Komponenten geben an, wie weit du dich entlang der Koordinatenachsen bewegst. Im Raum besitzt er drei Komponenten für die $x$-, $y$- und $z$-Richtung.
Auf dieser Seite lernst du, Vektoren zu deuten, zwischen Punkten zu berechnen und mit ihnen zu rechnen. Außerdem prüfst du ihre Länge und erkennst skalare Vielfache.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt ein Vektor?
Ein von null verschiedener Vektor enthält Länge, Richtung und Richtungssinn einer Verschiebung. Geometrisch stellst du ihn als Pfeil dar: Der Anfang heißt Fuß, das Ende Pfeilspitze. Der Richtungssinn gibt an, zu welchem Ende der Pfeil zeigt.
Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem: Die drei Achsen stehen senkrecht aufeinander, und auf allen Achsen gilt dieselbe Längeneinheit. Ein Punkt wird durch seine drei Koordinaten beschrieben, zum Beispiel $S=(3|6|-3)$. Die Einträge eines Vektors heißen Komponenten.
Vektor
Ein Vektor ist eine gerichtete Verschiebung. Seine Komponenten geben die Änderungen entlang der Koordinatenachsen an.
Im Raum hat ein Vektor drei Komponenten:
$$\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$$
Der Vektor
$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}$$
bedeutet: $3$ Einheiten in positiver $x$-Richtung, $6$ Einheiten in positiver $y$-Richtung und $3$ Einheiten entgegen der positiven $z$-Richtung.
Zum Zeichnen wählst du einen Startpunkt und trägst von dort diese Änderungen parallel zu den Achsen ab. Der Vektorpfeil führt direkt vom Startpunkt zum so gefundenen Endpunkt.
Beim Nullvektor $\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ bleibt der Punkt an seinem Ort. Seine Länge ist $0$; er hat keine festgelegte Richtung.
Ein Vektor ohne festgelegten Startpunkt ist nicht an einen Ort gebunden. Parallel verschobene Pfeile mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn stellen denselben Vektor dar. Solche Pfeile heißen Repräsentanten des Vektors.
Ein Punkt beschreibt einen Ort. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung.
Wie entstehen Orts- und Verbindungsvektoren?
Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung $O=(0|0|0)$ und endet an einem Punkt. Seine Komponenten stimmen deshalb mit den Koordinaten des Zielpunkts überein.
Für $S=(3|6|-3)$ gilt:
$$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}$$
Der Ortsvektor führt vom Ursprung zum Punkt $S$.
Ein Verbindungsvektor führt von einem beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt. Du berechnest ihn komponentenweise:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$
Du ziehst also den Ortsvektor von $A$ vom Ortsvektor von $B$ ab. Dadurch bleibt genau die Verschiebung von $A$ nach $B$ übrig.
Spitze minus Fuß: Ziehe die Koordinaten des Anfangspunkts von den Koordinaten des Endpunkts ab.
Gegeben sind $A=(1|2|3)$ und $B=(2|4|3)$. Dann gilt:
$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-1\\4-2\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$
Die dritte Komponente ist $0$, weil sich die $z$-Koordinate nicht verändert.
Für die Gegenrichtung wechseln alle Vorzeichen:
$$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}=-\overrightarrow{AB}$$
Wie rechnest du mit Vektoren?
Vektoren derselben Dimension, also mit derselben Anzahl an Komponenten, addierst oder subtrahierst du komponentenweise. Anschaulich bedeutet die Addition: Führe erst die eine, dann die andere Verschiebung aus. Die Summe beschreibt die gesamte Ortsänderung.
Für
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}-5\\0\\-2\end{pmatrix}$$
gilt:
$$\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}1+(-5)\\2+0\\0+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}$$
Bei der Subtraktion ziehst du ebenfalls die jeweils passenden Komponenten voneinander ab:
$$\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}1-(-5)\\2-0\\0-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\2\end{pmatrix}$$
Achte auf die Vorzeichen: Eine negative Zahl abzuziehen bedeutet, die entsprechende positive Zahl zu addieren.
Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl, einem Skalar, wird jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert:
$$-2\vec a=-2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$$
Die Länge eines Vektors heißt auch Betrag. Der Betrag $|k|$ einer Zahl ist ihr Abstand von $0$ und damit nie negativ. Für einen reellen Faktor $k$ gilt $|k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|$: Die neue Länge ist die alte Länge mal dem Betrag des Faktors. Ein negativer Faktor kehrt bei einem Nichtnullvektor zusätzlich den Richtungssinn um. Der Faktor $0$ ergibt immer den Nullvektor.
Wie berechnest du die Länge?
Die Länge eines Vektors heißt Betrag. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten. Diesen Satz des Pythagoras wendest du im Raum zweimal an: Zuerst ergibt die Verschiebung in der $xy$-Ebene das Längenquadrat $a_1^2+a_2^2$. Die dazu senkrechte $z$-Komponente ergänzt $a_3^2$. Deshalb gilt:
$$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
Für $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ gilt:
$$|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}$$
Ein Betrag ist nie negativ. Der Nullvektor besitzt den Betrag $0$.
Wann sind zwei Vektoren skalare Vielfache?
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist:
$$\vec a=\lambda\vec b$$
Dabei ist $\lambda$ eine reelle Zahl. Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:
- $\lambda>0$: gleicher Richtungssinn,
- $\lambda<0$: entgegengesetzter Richtungssinn.
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Das gilt auch, wenn einer der beiden der Nullvektor ist: Er ist das $0$-Fache des anderen. Aussagen über gleichen oder entgegengesetzten Richtungssinn gelten dagegen nur für Nichtnullvektoren.
Gegeben sind
$$\vec a=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}-4\\-8\\-6\end{pmatrix}$$
Aus der ersten Komponente folgt $2=\lambda\cdot(-4)$, also $\lambda=-\frac12$. Jetzt prüfst du denselben Faktor an den anderen beiden Komponenten. Es gilt:
$$\vec a=-\frac12\vec b$$
Denn die Multiplikation jeder Komponente von $\vec b$ mit $-\frac12$ ergibt $2$, $4$ und $3$. Die Vektoren sind daher kollinear und linear abhängig. Wegen des negativen Faktors haben sie einen entgegengesetzten Richtungssinn.
Ein passender Faktor für nur eine oder zwei Komponenten genügt nicht. Zum Beispiel sind $\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}4\\8\\5\end{pmatrix}$ nicht kollinear: Die ersten beiden Komponenten erfordern den Faktor $2$, aber $2\cdot3=6$ und nicht $5$.
Bestimme einen möglichen Faktor an einer Komponente, bei der du nicht durch $0$ teilen musst. Prüfe anschließend alle Komponenten mit diesem Faktor. Steht rechts in einer Komponente $0$, muss links ebenfalls $0$ stehen, denn $\lambda\cdot0=0$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vektoren
- Bedeutung
- gerichtete Verschiebung
- Länge
- Richtungssinn bei Nichtnullvektoren
- Darstellung
- Pfeil
- Komponenten
- Punktbeziehungen
- Ortsvektor
- Verbindungsvektor
- Rechnen
- Addition und Subtraktion
- Skalarmultiplikation
- Betrag
- Lagebeziehung
- Kollinearität durch skalare Vielfache
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du bist sicher im Grundrechnen mit Vektoren, wenn du Komponenten als Verschiebungen deuten, „Spitze minus Fuß“ anwenden und Ergebnisse auf Richtung, Länge und gemeinsamen Faktor prüfen kannst.