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Vektoren einfach erklärt: Rechnen im Raum
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: Seine Komponenten geben an, wie weit du dich entlang der Koordinatenachsen bewegst. Im Raum besitzt er drei Komponenten für die $x$-, $y$- und $z$-Richtung.
Auf dieser Seite lernst du, Vektoren zu deuten, zwischen Punkten zu berechnen und mit ihnen zu rechnen. Außerdem prüfst du ihre Länge und erkennst skalare Vielfache.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt ein Vektor?
Ein Vektor enthält Länge und Richtungssinn einer Verschiebung. Geometrisch stellst du ihn als Pfeil dar: Der Anfang heißt Fuß, das Ende Pfeilspitze.
Vektor
Ein Vektor ist eine gerichtete Verschiebung. Seine Komponenten geben die Änderungen entlang der Koordinatenachsen an.
Im Raum hat ein Vektor drei Komponenten:
$$\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$$
Der Vektor
$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}$$
bedeutet: $3$ Einheiten in $x$-Richtung, $6$ Einheiten in $y$-Richtung und $-3$ Einheiten in $z$-Richtung.
Ein Vektor ohne festgelegten Startpunkt ist nicht an einen Ort gebunden. Parallel verschobene Pfeile mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn stellen denselben Vektor dar. Solche Pfeile heißen Repräsentanten des Vektors.
Ein Punkt beschreibt einen Ort. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung.
Wie entstehen Orts- und Verbindungsvektoren?
Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung $O=(0|0|0)$ und endet an einem Punkt. Seine Komponenten stimmen deshalb mit den Koordinaten des Zielpunkts überein.
Für $S=(3|6|-3)$ gilt:
$$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}$$
Der Ortsvektor führt vom Ursprung zum Punkt $S$.
Ein Verbindungsvektor führt von einem beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt. Du berechnest ihn komponentenweise:
$$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A$$
Spitze minus Fuß: Ziehe die Koordinaten des Anfangspunkts von den Koordinaten des Endpunkts ab.
Gegeben sind $A=(1|2|3)$ und $B=(2|4|3)$. Dann gilt:
$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-1\\4-2\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$
Die dritte Komponente ist $0$, weil sich die $z$-Koordinate nicht verändert.
Für die Gegenrichtung wechseln alle Vorzeichen:
$$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}=-\overrightarrow{AB}$$
Wie rechnest du mit Vektoren?
Vektoren derselben Dimension addierst oder subtrahierst du komponentenweise.
Für
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}-5\\0\\-2\end{pmatrix}$$
gilt:
$$\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}1+(-5)\\2+0\\0+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}$$
Bei der Subtraktion ziehst du ebenfalls die jeweils passenden Komponenten voneinander ab.
Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl, einem Skalar, wird jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert:
$$-2\vec a=-2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$$
Der Betrag des Faktors verändert die Länge. Ein negativer Faktor kehrt zusätzlich den Richtungssinn um.
Wie berechnest du die Länge?
Die Länge eines Vektors heißt Betrag. Im Raum berechnest du ihn mit dem Satz des Pythagoras:
$$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
Für $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ gilt:
$$|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}$$
Ein Betrag ist nie negativ. Der Nullvektor besitzt den Betrag $0$.
Wann sind zwei Vektoren skalare Vielfache?
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist:
$$\vec a=\lambda\vec b$$
Dabei ist $\lambda$ eine reelle Zahl. Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:
- $\lambda>0$: gleicher Richtungssinn,
- $\lambda<0$: entgegengesetzter Richtungssinn.
Zwei Vektoren, die skalare Vielfache voneinander sind, heißen außerdem linear abhängig.
Gegeben sind
$$\vec a=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}-4\\-8\\-6\end{pmatrix}$$
Es gilt:
$$\vec a=-\frac12\vec b$$
Denn die Multiplikation jeder Komponente von $\vec b$ mit $-\frac12$ ergibt $2$, $4$ und $3$. Die Vektoren sind daher kollinear und linear abhängig. Wegen des negativen Faktors haben sie einen entgegengesetzten Richtungssinn.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vektoren
- Bedeutung
- gerichtete Verschiebung
- Länge und Richtungssinn
- Darstellung
- Pfeil
- Komponenten
- Punktbeziehungen
- Ortsvektor
- Verbindungsvektor
- Rechnen
- Addition und Subtraktion
- Skalarmultiplikation
- Betrag
- Lagebeziehung
- Kollinearität durch skalare Vielfache
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du bist sicher im Grundrechnen mit Vektoren, wenn du Komponenten als Verschiebungen deuten, „Spitze minus Fuß“ anwenden und Ergebnisse auf Richtung, Länge und gemeinsamen Faktor prüfen kannst.