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Vektoren können echte neue Richtungen liefern oder nur Wiederholungen voneinander sein. Lineare Abhängigkeit beschreibt genau, ob ein Vektor aus anderen zusammengesetzt werden kann.
- Ich kann lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit unterscheiden.
- Ich kann Vielfache von Vektoren erkennen.
- Ich kann ein Gleichungssystem zum Prüfen aufstellen.
- Ich kann die Bedeutung im Raum deuten.
Die Grundidee
Vektoren sind linear abhängig, wenn mindestens einer von ihnen durch die anderen erzeugt werden kann. Dann bringt er keine neue Richtung oder Ebene mehr hinein.
Lineare Abhängigkeit
Vektoren heißen linear abhängig, wenn es Zahlen gibt, die nicht alle 0 sind, sodass eine Linearkombination den Nullvektor ergibt: \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec0\).
\(\vec u=(2,4)\) und \(\vec v=(1,2)\) sind abhängig, denn \(\vec u=2\vec v\). Beide zeigen in dieselbe Richtung.
Vielfache Vektoren sind immer linear abhängig.
Zwei Vektoren prüfen
Bei zwei Vektoren reicht oft der Vielfachen-Test. Alle Koordinaten müssen mit demselben Faktor zusammenpassen.
Prüfe \(\vec a=(3,-6,9)\) und \(\vec b=(1,-2,3)\).
- Erste Koordinate: \(3=3\cdot1\).
- Zweite Koordinate: \(-6=3\cdot(-2)\).
- Dritte Koordinate: \(9=3\cdot3\).
- Also \(\vec a=3\vec b\). Die Vektoren sind linear abhängig.
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Drei Vektoren prüfen
Bei drei Vektoren stellst du eine Linearkombination auf. In der Ebene sind drei Vektoren immer abhängig, im Raum können drei Vektoren unabhängig sein.
Prüfe \(\vec a=(1,0,0)\), \(\vec b=(0,1,0)\) und \(\vec c=(2,3,0)\).
- Suche \(r\vec a+s\vec b=\vec c\).
- \(r(1,0,0)+s(0,1,0)=(r,s,0)\).
- Für \(\vec c=(2,3,0)\) wähle \(r=2\), \(s=3\).
- Also ist \(\vec c=2\vec a+3\vec b\). Die drei Vektoren sind abhängig.
Geometrisch bedeutet das: Wenn drei Raumvektoren alle in einer Ebene liegen, sind sie abhängig. Erst drei Richtungen, die nicht in einer Ebene liegen, spannen den Raum auf.
Prüfungsmodus
Schreibe sauber zwischen Vektor und Faktor. Ein häufiger Fehler ist, nur eine Koordinate zu vergleichen. Der Faktor muss überall stimmen.
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Zusammenfassung
Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass Vektoren sich gegenseitig ersetzen können. Bei zwei Vektoren prüfst du auf gemeinsame Vielfache. Bei mehreren Vektoren nutzt du Linearkombinationen oder ein Gleichungssystem. Entscheidend ist, ob wirklich eine neue Richtung entsteht.