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Lineare Abhängigkeit von Vektoren prüfen
Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination erzeugen lässt, bei der nicht alle Koeffizienten null sind. Anschaulich ist dann mindestens ein Vektor durch die übrigen darstellbar.
Auf dieser Seite lernst du, Abhängigkeit bei zwei oder drei Vektoren zu erkennen und mit einem Gleichungssystem, dem Gauß-Verfahren oder einer Determinante nachzuweisen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Das Kernkriterium verstehen
Betrachte die Vektoren $\vec v_1,\ldots,\vec v_n$. Du suchst Skalare $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, für die gilt:
$$\lambda_1\vec v_1+\cdots+\lambda_n\vec v_n=\vec 0$$
Die Wahl $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$ funktioniert immer. Sie heißt triviale Lösung und beweist noch keine Abhängigkeit.
Lineare Abhängigkeit
Eine Vektorfamilie ist linear abhängig, wenn die Gleichung
$$\lambda_1\vec v_1+\cdots+\lambda_n\vec v_n=\vec 0$$
mindestens eine Lösung besitzt, bei der nicht alle Koeffizienten null sind. Eine solche Lösung heißt nichttrivial.
Sind dagegen alle Koeffizienten zwingend null, heißen die Vektoren linear unabhängig.
Das Kriterium lässt sich auch anders lesen: Eine Familie ist abhängig, wenn sich mindestens einer ihrer Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt. Enthält die Familie den Nullvektor, ist sie ebenfalls abhängig.
Nicht die Darstellung des Nullvektors allein entscheidet, sondern eine Darstellung mit mindestens einem Koeffizienten ungleich null.
Zwei Vektoren schnell vergleichen
Bei zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren genügt eine kurze Prüfung: Ist einer ein skalares Vielfaches des anderen?
$$\vec a=\lambda\vec b$$
Muss in jeder Komponente derselbe Wert für $\lambda$ gelten, sind die Vektoren abhängig. Geometrisch zeigen sie dann in parallele oder entgegengesetzte Richtungen.
Gegeben sind
$$\vec a=(4,2,1),\qquad \vec b=(8,4,2).$$
Wir prüfen $\vec a=\lambda\vec b$. Aus den drei Komponenten folgt jeweils
$$\lambda=\frac{4}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$
Damit gilt
$$\vec a=\frac12\vec b.$$
Der gleiche Faktor passt in jeder Komponente. Deshalb sind $\vec a$ und $\vec b$ linear abhängig.
Ein häufiger Fehler ist, nur eine Komponente zu vergleichen. Ein Faktor muss jedoch alle Komponenten gleichzeitig erfüllen.
Drei Vektoren systematisch prüfen
Für drei Vektoren setzt du zunächst die homogene Gleichung an:
$$\lambda_1\vec a+\lambda_2\vec b+\lambda_3\vec c=\vec 0.$$
Schreibe die Vektoren als Spalten einer Matrix. Mit elementaren Zeilenumformungen bringst du das zugehörige Gleichungssystem in Stufenform. Danach entscheidest du:
- Nur $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ ist möglich: Die Vektoren sind unabhängig.
- Mindestens ein Koeffizient kann von null verschieden sein: Die Vektoren sind abhängig.
Gegeben sind
$$\vec a=(1,2,3),\quad \vec b=(1,5,1),\quad \vec c=(3,1,3).$$
Die Koeffizientenmatrix lautet
$$A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&5&1\\3&1&3\end{pmatrix}.$$
Wir formen die Zeilen um:
$$Z_2\leftarrow Z_2-2Z_1,\qquad Z_3\leftarrow Z_3-3Z_1$$
und erhalten
$$\begin{pmatrix}1&1&3\\0&3&-5\\0&-2&-6\end{pmatrix}.$$
Mit $Z_3\leftarrow3Z_3+2Z_2$ folgt
$$\begin{pmatrix}1&1&3\\0&3&-5\\0&0&-28\end{pmatrix}.$$
Beim Rückwärtseinsetzen ergibt die letzte Zeile zuerst $\lambda_3=0$. Danach folgen $\lambda_2=0$ und $\lambda_1=0$. Es gibt nur die triviale Lösung. Die drei Vektoren sind daher linear unabhängig.
Die Determinante als Kurztest
Bei genau drei Vektoren im $\mathbb R^3$ ist die Spaltenmatrix quadratisch. Dann gilt:
- $\det(A)\ne0$: Die Vektoren sind unabhängig.
- $\det(A)=0$: Die Vektoren sind abhängig.
Für die Matrix aus dem Beispiel ist $\det(A)=-28$. Weil $-28\ne0$ gilt, bestätigt die Determinante das Ergebnis des Gauß-Verfahrens.
Das Determinantenkriterium gilt nur, wenn die Vektoren eine quadratische Matrix bilden. Das Gauß-Verfahren funktioniert dagegen auch bei nichtquadratischen Matrizen. Dabei zählt die Zahl der Pivotpositionen, nicht das bloße Auftreten irgendeiner Nullzeile.
Abhängigkeit direkt nachweisen
Gegeben seien
$$\vec a=(1,2,1),\quad \vec b=(0,-1,2),\quad \vec c=(2,1,8).$$
Es gilt komponentenweise:
$$2\vec a+3\vec b=(2,4,2)+(0,-3,6)=(2,1,8)=\vec c.$$
Also ist $\vec c$ eine Linearkombination von $\vec a$ und $\vec b$. Damit ist die Familie $\vec a,\vec b,\vec c$ linear abhängig.
Die Dimension richtig deuten
Linear unabhängige Vektoren bringen jeweils eine neue Richtung in den aufgespannten Raum ein. Deshalb kann es im $\mathbb R^n$ höchstens $n$ linear unabhängige Vektoren geben.
Daraus folgen wichtige Spezialfälle:
- Mehr als zwei Vektoren in einer Ebene sind abhängig.
- Mehr als drei Vektoren im $\mathbb R^3$ sind abhängig.
- Drei unabhängige Vektoren im $\mathbb R^3$ bilden eine Basis des Raumes.
Eine Basis ist eine unabhängige Vektorfamilie, die den ganzen Raum aufspannt. Die Standardbasis des $\mathbb R^3$ ist
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$
Jeder Vektor im $\mathbb R^3$ lässt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen. Fügt man einen vierten Vektor hinzu, ist die gesamte Familie aus vier Vektoren abhängig.
Mehr als $n$ Vektoren im $\mathbb R^n$ sind immer abhängig. Bei höchstens $n$ Vektoren musst du dagegen tatsächlich prüfen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineare Abhängigkeit von Vektoren
- Kernkriterium: nichttriviale Linearkombination zum Nullvektor
- Zwei Vektoren: gemeinsames skalares Vielfaches prüfen
- Drei Vektoren: Gleichungssystem und Gauß-Verfahren verwenden
- Quadratische Matrix: Determinante als Kurztest nutzen
- Geometrische Bedeutung: keine neue unabhängige Richtung
- Dimension: höchstens $n$ unabhängige Vektoren im $\mathbb R^n$
Abschluss-Check
Du kannst eine Prüfung nun passend auswählen: Bei zwei Vektoren suchst du ein gemeinsames Vielfaches, bei mehreren Vektoren verwendest du ein Gleichungssystem beziehungsweise Gauß und bei einer quadratischen Matrix gegebenenfalls die Determinante. Entscheidend bleibt immer das Kernkriterium der nichttrivialen Linearkombination zum Nullvektor.