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Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Der Mittelpunkt $M$ liegt genau zwischen den Endpunkten $A$ und $B$. Du berechnest jede Koordinate von $M$, indem du die entsprechenden Koordinaten der Endpunkte addierst und durch $2$ teilst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeichnet den Mittelpunkt aus?
Stell dir eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ vor. Ihr Mittelpunkt $M$ teilt sie in zwei gleich lange Teilstrecken:
$$AM = MB$$
Mittelpunkt
Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Punkt zwischen ihren Endpunkten, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist.
Die Koordinaten von $M$ liegen jeweils genau zwischen den entsprechenden Koordinaten von $A$ und $B$. Deshalb bildest du für jede Koordinate den arithmetischen Mittelwert.
Mittelpunkt bedeutet: passende Koordinaten addieren und durch $2$ teilen.
Wie funktioniert die Mittelpunktformel?
Für zwei Punkte in der Ebene
$$A(x_A|y_A),\qquad B(x_B|y_B)$$
lautet die Mittelpunktformel:
$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\middle|\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Im Raum kommt die dritte Koordinate hinzu:
$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\middle|\frac{y_A+y_B}{2}\middle|\frac{z_A+z_B}{2}\right)$$
Die Reihenfolge der Endpunkte spielt keine Rolle: Bei einer Addition kannst du die Summanden vertauschen.
Gegeben sind $C(4|2|9)$ und $D(2|-4|1)$.
Setze jede Koordinate getrennt ein:
$$M\left(\frac{4+2}{2}\middle|\frac{2+(-4)}{2}\middle|\frac{9+1}{2}\right)$$
Berechne die drei Mittelwerte:
$$M\left(3|-1|5\right)$$
Die negative zweite Koordinate entsteht korrekt, weil $2+(-4)=-2$ und $-2:2=-1$ gilt.
Wie berechnest du den Mittelpunkt mit Vektoren?
Ein Ortsvektor führt vom Ursprung $O$ zu einem Punkt. Ein Verbindungsvektor führt von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt.
Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ wird nach der Regel Ziel minus Start berechnet:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$
Vom Punkt $A$ gelangst du zum Mittelpunkt, indem du die Hälfte dieses Verbindungsvektors zurücklegst:
$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB}$$
Gegeben sind $E(3|8|1)$ und $F(9|2|-7)$.
- Bilde den Verbindungsvektor mit Ziel minus Start:
$$\overrightarrow{EF}=(9-3|2-8|-7-1)=(6|-6|-8)$$
- Halbiere ihn:
$$\frac12\overrightarrow{EF}=(3|-3|-4)$$
- Addiere ihn zum Ortsvektor von $E$:
$$\overrightarrow{OM}=(3|8|1)+(3|-3|-4)=(6|5|-3)$$
Der Mittelpunkt ist also $M(6|5|-3)$.
Du kannst ebenso bei $B$ starten und die Hälfte von $\overrightarrow{BA}$ addieren. Beide Wege führen zum selben Punkt.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Achte beim Rechnen auf vier Punkte:
- Koordinaten zuordnen: Mittlere nur $x$ mit $x$, $y$ mit $y$ und $z$ mit $z$.
- Jede Summe halbieren: Die Division durch $2$ gilt für jede Koordinate.
- Negative Zahlen einklammern: Schreibe zum Beispiel $2+(-4)$.
- Vektorrichtung beachten: Für $\overrightarrow{AB}$ rechnest du $B-A$.
Übung mit der Mittelpunktformel
Berechne den Mittelpunkt von $E(3|6|8)$ und $F(5|4|10)$.
Lösung:
$$M\left(\frac{3+5}{2}\middle|\frac{6+4}{2}\middle|\frac{8+10}{2}\right)=M(4|5|9)$$
Die Koordinaten $4$, $5$ und $9$ liegen jeweils zwischen den entsprechenden Koordinaten der Endpunkte.
Übung mit einem Verbindungsvektor
Berechne den Mittelpunkt von $G(5|7|-2)$ und $H(7|3|10)$ über den Weg von $G$ nach $H$.
Lösung:
Zuerst gilt
$$\overrightarrow{GH}=(7-5|3-7|10-(-2))=(2|-4|12).$$
Die Hälfte davon ist $(1|-2|6)$. Addiere sie zu $G$:
$$\overrightarrow{OM}=(5|7|-2)+(1|-2|6)=(6|5|4).$$
Damit ist $M(6|5|4)$ der gesuchte Mittelpunkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mittelpunkt einer Strecke
- Bedeutung
- teilt die Strecke in zwei gleich lange Teile
- ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt
- Mittelpunktformel
- passende Koordinaten mitteln
- gilt in Ebene und Raum
- Vektorweg
- Verbindungsvektor als Ziel minus Start bilden
- halben Verbindungsvektor zum Startpunkt addieren
- Kontrolle
- Koordinaten richtig zuordnen
- Vorzeichen und Division durch 2 prüfen
- Bedeutung