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Zwei Punkte im Koordinatensystem haben nicht nur eine waagrechte und senkrechte Differenz, sondern einen direkten Abstand. Diese Strecke berechnest du mit Pythagoras.
- Ich kann den Abstand zweier Punkte in der Ebene berechnen.
- Ich kann den Abstand im Raum berechnen.
- Ich kann vorher den Verbindungsvektor bilden.
- Ich kann das Ergebnis als Länge deuten.
Grundidee
Vom Punkt A zum Punkt B gehst du in Koordinatenschritten. Der direkte Abstand ist die Luftlinie zwischen beiden Punkten.
Abstand zweier Punkte
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Strecke zwischen ihnen. In 3D gilt für \(A(x_1,y_1,z_1)\) und \(B(x_2,y_2,z_2)\): \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\).
Die Formel entsteht, indem du erst die Koordinatendifferenzen bildest. Diese Differenzen sind die Komponenten des Verbindungsvektors.
\(A(1,2)\), \(B(4,6)\).
Differenzen: \(4-1=3\), \(6-2=4\). \(d=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Abstand = Betrag des Verbindungsvektors.
Vorgehen
Schreibe die Punkte sauber untereinander. Subtrahiere Ziel minus Start. Danach quadrieren, addieren, Wurzel ziehen.
\(A(-2,1,3)\), \(B(2,4,15)\).
Differenzen: 4, 3, 12. \(d=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13\).
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Prüfungsmodus
Das Vorzeichen der Differenzen ist nach dem Quadrieren egal. Trotzdem musst du innerhalb jeder Koordinate bleiben: x mit x, y mit y, z mit z.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Den Abstand zweier Punkte berechnest du über Koordinatendifferenzen und Pythagoras. Das Ergebnis ist die Länge der direkten Verbindung.