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Abstand zweier Punkte berechnen: 2D und 3D
Den Abstand zweier Punkte berechnest du, indem du die Unterschiede ihrer Koordinaten quadrierst, addierst und aus der Summe die Quadratwurzel ziehst. Das Verfahren beruht auf dem Satz des Pythagoras.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum funktioniert die Abstandsformel?
Stell dir die Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ in einem Koordinatensystem vor. Die Differenzen $x_2-x_1$ und $y_2-y_1$ beschreiben die gerichtete waagerechte und senkrechte Änderung.
Die Beträge dieser Koordinatendifferenzen bilden die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die direkte Verbindungsstrecke der Punkte ist seine Hypotenuse. Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras:
$$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$
Da ein Abstand nicht negativ ist, ziehen wir anschließend die Quadratwurzel.
Abstand zweier Punkte
Der Abstand ist die Länge der direkten Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten. In Formeln wird er häufig mit $d$ bezeichnet.
Koordinatendifferenzen bilden, jede Differenz quadrieren, die Quadrate addieren und zuletzt die Quadratwurzel ziehen.
So berechnest du den Abstand in 2D
Für $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ lautet die Formel:
$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Ordne die Koordinaten den beiden Punkten zu.
- Berechne die Differenz der $x$-Koordinaten.
- Berechne die Differenz der $y$-Koordinaten.
- Quadriere beide Differenzen.
- Addiere die Quadrate und ziehe die Quadratwurzel.
Gesucht ist der Abstand zwischen $P(6|3)$ und $Q(1|2)$.
Die Koordinatendifferenzen sind:
$$1-6=-5 \qquad 2-3=-1$$
Nun werden beide Differenzen quadriert:
$$(-5)^2=25 \qquad (-1)^2=1$$
Damit ergibt sich:
$$d(P,Q)=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$
Der Abstand beträgt genau $\sqrt{26}$ Längeneinheiten.
So gehst du mit negativen Koordinaten um
Beim Einsetzen negativer Zahlen sind Klammern wichtig. Aus $3-(-2)$ wird durch das doppelte Minus $3+2=5$.
Auch eine negative Differenz wird beim Quadrieren positiv: $(-5)^2=25$. Das passt zur Bedeutung des Abstands, denn eine Länge kann nicht negativ sein.
Für $A(-2|4)$ und $B(3|-1)$ gilt:
$$3-(-2)=5 \qquad (-1)-4=-5$$
Also:
$$d(A,B)=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
Die Vorzeichen der Differenzen sind verschieden. Ihre Quadrate tragen jedoch beide positiv zur Länge bei.
So berechnest du den Abstand in 3D
Im dreidimensionalen Raum kommt die Differenz der $z$-Koordinaten hinzu. Für $P_1(x_1|y_1|z_1)$ und $P_2(x_2|y_2|z_2)$ gilt:
$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$
Die Rechnung folgt demselben Muster wie in 2D: Differenzen bilden, quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen.
Gegeben sind $C(-1|2|0)$ und $D(3|-1|4)$.
Die drei Koordinatendifferenzen lauten:
$$3-(-1)=4 \qquad (-1)-2=-3 \qquad 4-0=4$$
Ihre Quadratsumme ist:
$$4^2+(-3)^2+4^2=16+9+16=41$$
Daher beträgt der Abstand:
$$d(C,D)=\sqrt{41}$$
Verbindung zur Vektorrechnung
Der Verbindungsvektor von $C$ nach $D$ hat die Komponenten $(4|-3|4)$. Der Abstand der Punkte ist genau die Länge dieses Vektors. Die Vektorlänge und die Abstandsformel beschreiben also dieselbe Rechnung.
Was gilt bei vertauschten oder identischen Punkten?
Vertauschst du die Punkte, wechseln die Koordinatendifferenzen nur ihr Vorzeichen. Da $a^2=(-a)^2$ gilt, bleibt der Abstand gleich:
$$d(A,B)=d(B,A)$$
Liegen beide Punkte aufeinander, sind alle Koordinatendifferenzen null. Dann ist auch ihr Abstand null.
Für $A(3|4)$ und $B(3|4)$ gilt:
$$d(A,B)=\sqrt{(3-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{0}=0$$
Die Reihenfolge der Punkte verändert den Abstand nicht. Identische Punkte haben den Abstand $0$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Abstand zweier Punkte
- Grundlage
- Satz des Pythagoras
- Länge des Verbindungsvektors
- Berechnung
- Koordinatendifferenzen bilden
- Differenzen quadrieren
- Quadrate addieren
- Quadratwurzel ziehen
- Dimensionen
- zwei Differenzen in 2D
- drei Differenzen in 3D
- Besonderheiten
- negative Zahlen einklammern
- Reihenfolge ohne Einfluss
- identische Punkte mit Abstand 0
- Grundlage