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Parameterform: Geraden und Ebenen verstehen
Die Parameterform beschreibt geometrische Objekte als Aufpunkt plus veränderliche Richtungen. Eine Gerade braucht eine Richtung, eine Ebene zwei voneinander unabhängige Richtungen.
Auf dieser Seite lernst du, Parameterformen aus Punkten aufzustellen, Punktproben durchzuführen und eine Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine Gerade mit einer Richtung beschreiben
Eine Gerade entsteht, wenn du von einem festen Punkt aus beliebig weit in eine Richtung oder in die Gegenrichtung gehst.
Stützvektor
Der Stützvektor $\vec p$ ist der Ortsvektor eines bekannten Punktes auf der Geraden. Er legt fest, wo die Gerade liegt.
Richtungsvektor
Der Richtungsvektor $\vec v$ gibt den Verlauf der Geraden an. Er darf nicht der Nullvektor sein.
Die Parameterform einer Geraden lautet:
$$g:\quad \vec x=\vec p+t\vec v,\qquad t\in\mathbb R$$
Der Parameter $t$ darf jede reelle Zahl annehmen. Bei $t=0$ erhältst du den Aufpunkt. Positive und negative Werte führen in die beiden Richtungen der Geraden.
Gerade aus zwei Punkten aufstellen
Gegeben sind $A(1|2)$ und $B(4|-1)$.
- Wähle $A$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist daher $(1,2)$.
- Bilde den Verbindungsvektor immer als „Zielpunkt minus Ausgangspunkt“:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,-1-2)=(3,-3)$$
- Setze beide Vektoren ein:
$$g:\quad \vec x=(1,2)+t(3,-3),\qquad t\in\mathbb R$$
Für $t=2$ ergibt sich $(1,2)+2(3,-3)=(7,-4)$. Der Punkt $(7|-4)$ liegt deshalb auf der Geraden.
Für eine Gerade brauchst du einen Punkt und einen von null verschiedenen Richtungsvektor.
Eine Ebene mit zwei Richtungen aufspannen
Eine Ebene im Raum braucht neben einem Aufpunkt zwei Richtungen.
Spannvektoren
Die Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$ geben zwei Richtungen innerhalb der Ebene an. Sie müssen linear unabhängig sein: Keiner darf ein Vielfaches des anderen sein.
Die Parameterform einer Ebene lautet:
$$E:\quad \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v,\qquad r,s\in\mathbb R$$
Mit den beiden Parametern $r$ und $s$ kannst du die Richtungen unabhängig voneinander kombinieren.
Ebene aus drei Punkten aufstellen
Gegeben sind
$$A(1|1|1),\qquad B(-2|1|2),\qquad C(3|2|0).$$
Wähle $A$ als Aufpunkt und bilde zwei Verbindungsvektoren, die beide bei $A$ beginnen:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,0,1)$$
$$\overrightarrow{AC}=C-A=(2,1,-1)$$
Damit erhältst du:
$$E:\quad \vec x=(1,1,1)+r(-3,0,1)+s(2,1,-1),\qquad r,s\in\mathbb R$$
Die Spannvektoren sind keine Vielfachen voneinander. Sie spannen daher tatsächlich eine Ebene auf.
Im dreidimensionalen Raum kannst du die Unabhängigkeit zusätzlich mit dem Kreuzprodukt prüfen. Hier gilt $(-3,0,1)\times(2,1,-1)=(-1,-1,-3)$. Weil das Ergebnis nicht der Nullvektor ist, sind die Spannvektoren linear unabhängig.
Mit der Punktprobe Zugehörigkeit prüfen
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes für $\vec x$ ein. Danach suchst du Parameterwerte, die alle Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.
Für den Punkt $B(-2|1|2)$ in der Beispielsebene wählst du $r=1$ und $s=0$:
$$ (1,1,1)+1(-3,0,1)+0(2,1,-1)=(-2,1,2). $$
Damit liegt $B$ auf der Ebene.
Betrachte nun $Q(1|2|1)$. Aus der zweiten Koordinate folgt $s=1$. Die dritte Koordinate liefert dann $r=1$. In der ersten Koordinate ergäbe sich jedoch
$$1-3\cdot1+2\cdot1=0\neq1.$$
Es gibt also kein gemeinsames Wertepaar $(r,s)$. Der Punkt $Q$ liegt nicht auf der Ebene.
Ein Punkt gehört nur dann zur Geraden oder Ebene, wenn dieselben Parameterwerte alle Koordinatengleichungen erfüllen.
Zwischen Parameter- und Koordinatenform wechseln
Für eine Ebene in Parameterform suchst du zunächst einen Normalenvektor. Er steht senkrecht auf beiden Spannvektoren.
Beim Beispiel liefert das Kreuzprodukt den Normalenvektor
$$\vec n=(-1,-1,-3).$$
Sein Skalarprodukt mit jedem Spannvektor ist null. Die Komponenten des Normalenvektors werden zu den Koeffizienten der Koordinatenform. Mit dem Aufpunkt $A(1|1|1)$ erhältst du zunächst
$$-x-y-3z=-5.$$
Durch Multiplikation mit $-1$ entsteht die einfachere Darstellung
$$E:\quad x+y+3z=5.$$
Eine Kontrolle mit $B(-2|1|2)$ ergibt $-2+1+3\cdot2=5$. Auch $C(3|2|0)$ erfüllt mit $3+2+3\cdot0=5$ die Gleichung.
Für den Rückweg von der Koordinatenform zur Parameterform kannst du drei nicht kollineare Ebenenpunkte bestimmen. Einer wird Aufpunkt; zwei Verbindungsvektoren werden Spannvektoren. Alternativ kannst du eine Variable freistellen und zwei Variablen als freie Parameter wählen.
Ein Normalenvektor darf mit jeder von null verschiedenen Zahl multipliziert werden. Seine Richtung bleibt dabei gleich. Deshalb beschreiben $(-1,-1,-3)$ und $(1,1,3)$ dieselbe Normalenrichtung.
Typische Fehler gezielt vermeiden
Beim Aufstellen einer Parameterform entstehen Fehler oft schon bei der Subtraktion.
- Lege vor dem Rechnen fest, welcher Punkt Ausgang und welcher Ziel ist.
- Rechne in jeder Komponente „Ziel minus Ausgang“.
- Achte besonders auf Minuszeichen vor negativen Koordinaten.
- Prüfe bei Ebenen, ob die beiden Spannvektoren linear unabhängig sind.
- Verwende bei einer Punktprobe dieselben Parameter in allen Koordinaten.
Die umgekehrte Subtraktion ist erlaubt. Aus $B-A$ wird dann $A-B=-(B-A)$. Der Vektor zeigt in die Gegenrichtung, beschreibt aber dieselbe Richtungslinie.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Gerade benötigt einen und einen . Eine Ebene benötigt zusätzlich einen zweiten, Spannvektor. Bei der Punktprobe müssen die Parameterwerte Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Parameterform
- Gerade: Aufpunkt und eine Richtung
- Ebene: Aufpunkt und zwei unabhängige Richtungen
- Aufstellen: Verbindungsvektoren bilden
- Prüfen: gemeinsame Parameterlösung suchen
- Umformen: Normalenvektor bestimmen
- Fehlerkontrolle: Vorzeichen und Unabhängigkeit prüfen
Abschluss-Check
Du kannst die Parameterform sicher verwenden, wenn du drei Fragen beantwortest: Liegt der Aufpunkt auf dem Objekt? Stimmen die Richtungen? Erfüllt eine Probe alle Koordinatengleichungen gleichzeitig?