Parameterform

Mit der Parameterform beschreibst du Geraden und Ebenen durch einen Startpunkt und Richtungen. So werden Punkte im Raum berechenbar statt nur gezeichnet.

    :::lernziele
    - Ich kann Stützvektor und Richtungsvektor erkennen.

• Ich kann Punkte durch Einsetzen eines Parameters berechnen.

• Ich kann prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

• Ich kann Geraden und Ebenen unterscheiden. :::

    ## Grundidee
  
    Der Stützvektor bringt dich zu einem bekannten Punkt. Der Richtungsvektor sagt, in welche Richtung du laufen darfst. Der Parameter bestimmt, wie weit du in diese Richtung gehst.
  
    :::definition Parameterform
    Die **Parameterform** beschreibt eine Gerade als Ortsvektor = Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor.
    :::
  
    :::beispiel
    Für g: x = (1,2,0) + t(3,-1,2) erhältst du bei t=2 den Punkt (7,0,4), denn (1,2,0)+2(3,-1,2)=(7,0,4).
    :::
  
    :::merke
    Ein Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn derselbe Parameter für alle Koordinaten funktioniert.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Welche Aufgabe hat der Richtungsvektor?
    + Er gibt die Laufrichtung an.
    - Er ist immer der Ursprung. => Der Startpunkt steckt im Stützvektor.
    ! Er gibt die Laufrichtung an. ist richtig.
    ?2 Welcher Punkt entsteht bei t=2 für (1,2,0)+t(3,-1,2)?
    + (7,0,4)
    - (4,1,2) => (4,1,2) entsteht bei t=1.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Um einen Punkt zu prüfen, vergleichst du alle Koordinaten mit demselben Parameter. Nur wenn ein einziger Parameter überall passt, liegt der Punkt auf der Geraden.
  
    :::beispiel
    Der Punkt (4,1,2) liegt auf g, weil t=1 in allen Koordinaten passt: 1+3=4, 2-1=1, 0+2=2.
    :::
  
    :::lueckentext
    In der Parameterform ist der Stützvektor ein {*Startpunkt|Winkel}. Der Parameter steuert die {*Weite|Einheit}.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    Stützvektor => bekannter Punkt

Richtungsvektor => Richtung Parameter => Schrittweite :::

    :::mindmap
    Parameterform

Gerade Ebene Stützvektor Richtungsvektor Punktprobe :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum reicht es nicht, nur eine Koordinate zu prüfen?
    + Weil derselbe Parameter in allen Koordinaten passen muss.
    - Weil Koordinaten keine Rolle spielen. => Eine Koordinate kann zufällig passen.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Die Parameterform ist eine Bewegungsbeschreibung. Du startest an einem Punkt und gehst mit Parametern in angegebene Richtungen.