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Ebenen im Raum können auf verschiedene Arten beschrieben werden. Die Normalenform ist besonders praktisch, weil sie direkt sagt: Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene.
- Ich kann Punkt, Ortsvektor und Normalenvektor unterscheiden.
- Ich kann die Normalenform einer Ebene aufstellen.
- Ich kann prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt.
- Ich kann zwischen Parameterform und Normalenform wechseln.
Idee der Normalenform
Eine Ebene ist festgelegt, wenn du einen Punkt der Ebene und eine Richtung kennst, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese senkrechte Richtung heißt Normalenvektor.
Normalenform
Die Normalenform einer Ebene lautet \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\). Dabei ist \(\vec{p}\) ein Stützvektor zu einem Punkt der Ebene und \(\vec{n}\) ein Normalenvektor.
Ein Punkt der Ebene ist \(P(1|2|3)\) und ein Normalenvektor ist \(\vec n=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\).
Dann lautet die Ebene:
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Punktprobe
Ein Punkt liegt auf der Ebene, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Du setzt seinen Ortsvektor für \(\vec{x}\) ein.
Ebene: \((\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=0\).
Prüfe \(Q(2|2|1)\).
\(\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\).
Skalarprodukt: \(1\cdot2+0\cdot0+(-2)\cdot1=0\).
Also liegt \(Q\) auf der Ebene.
Bei der Punktprobe muss am Ende genau 0 herauskommen.
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Koordinatenform erhalten
Wenn du das Skalarprodukt ausrechnest, entsteht die Koordinatenform. Sie ist oft kürzer zum Einsetzen.
Aus \((\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=0\) wird:
\(2(x-1)+0(y-2)+1(z-3)=0\)
\(2x-2+z-3=0\)
\(2x+z-5=0\).
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Prüfungsmodus
Wenn du aus zwei Spannvektoren eine Normalenform bilden sollst, muss der Normalenvektor zu beiden Spannvektoren orthogonal sein. Prüfe die Skalarprodukte.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Normalenform beschreibt eine Ebene mit einem Punkt und einer senkrechten Richtung. Das Skalarprodukt sorgt dafür, dass alle Punkte der Ebene genau die Bedingung „Verbindungsvektor steht senkrecht zum Normalenvektor“ erfüllen.