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Normalenvektor bestimmen und prüfen
Ein Normalenvektor ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf einer Geraden oder Ebene steht. Bei einer Ebene kannst du ihn aus der Koordinatenform ablesen oder aus zwei Spannvektoren mit dem Kreuzprodukt berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt ein Normalenvektor?
Ein Vektor beschreibt eine Richtung und eine Länge. Seine Lage in einer Zeichnung ist nicht entscheidend: Du darfst ihn parallel verschieben.
Normalenvektor
Ein Normalenvektor $\vec n\ne\vec 0$ steht orthogonal, also rechtwinklig, auf dem betrachteten geometrischen Objekt. Eine Gerade in dieser Richtung heißt Normale.
Bei einer Ebene steht der Normalenvektor senkrecht auf jeder Richtung innerhalb der Ebene. Es genügt deshalb, seine Orthogonalität zu zwei unabhängigen Spannvektoren der Ebene zu prüfen.
Ein Normalenvektor ist nicht eindeutig. Ist $\vec n$ ein Normalenvektor, dann ist auch $c\vec n$ für jede reelle Zahl $c\ne 0$ ein Normalenvektor. Daher beschreiben etwa $(-2,3,-16)$ und $(2,-3,16)$ dieselbe Normalenrichtung mit entgegengesetzter Orientierung.
Der Nullvektor ist niemals ein Normalenvektor. Er besitzt keine Richtung.
Welche Darstellungsform ist gegeben?
Die passende Methode hängt davon ab, wie die Gerade oder Ebene dargestellt ist.
Koordinatenform einer Ebene
Steht eine Ebene in der Form
$$ax+by+cz=d,$$
kannst du den Normalenvektor direkt ablesen:
$$\vec n=(a,b,c).$$
Für die Ebene
$$2x-3y+16z=33$$
ist $\vec n=(2,-3,16)$ ein Normalenvektor. Auch jedes von null verschiedene Vielfache, zum Beispiel $(-2,3,-16)$, ist geeignet.
Normalenform einer Ebene
In der Gleichung
$$\vec n\cdot(\vec x-\vec a)=0$$
steht $\vec n$ bereits ausdrücklich als Normalenvektor da. Der Vektor $\vec a$ bezeichnet einen Punkt der Ebene.
Gerade in der Ebene
Hat eine Gerade in $\mathbb R^2$ den Richtungsvektor $(a,b)$, dann sind
$$(-b,a)\quad\text{und}\quad(b,-a)$$
Normalenvektoren. Die Komponenten werden vertauscht und bei einer Komponente wird das Vorzeichen geändert.
Für eine Gerade in der Form $ax+by=d$ ist $(a,b)$ direkt ein Normalenvektor.
Bei einer Geraden im dreidimensionalen Raum gibt es nicht nur eine Normalenrichtung. Jeder Vektor $\vec n\ne\vec 0$ mit $\vec n\cdot\vec v=0$ ist normal zum Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden.
Wie hilft das Kreuzprodukt?
Eine Ebene in Parameterform besitzt einen Stützvektor $\vec a$ und zwei unabhängige Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$:
$$\vec x=\vec a+\lambda\vec u+\mu\vec v.$$
Der Stützvektor legt einen Punkt fest. Für die Normalenrichtung brauchst du nur die beiden Spannvektoren:
$$\vec n=\vec u\times\vec v.$$
Für $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ und $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ gilt
$$\vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).$$
Gegeben sind die Spannvektoren
$$\vec u=(-2,4,1)\quad\text{und}\quad\vec v=(3,2,0).$$
Setze ihre Komponenten in die Formel ein:
$$\vec u\times\vec v=(4\cdot0-1\cdot2,\;1\cdot3-(-2)\cdot0,\;(-2)\cdot2-4\cdot3).$$
Damit erhältst du
$$\vec n=(-2,3,-16).$$
Dieser Vektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren und damit auf der gesamten Ebene.
Sind $\vec u$ und $\vec v$ parallel, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor. Dann spannen sie keine Ebene auf, und das Ergebnis darf nicht als Normalenvektor verwendet werden.
Vertauschst du die Faktoren, ändert sich nur die Richtung: $\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)$. Beide von null verschiedenen Ergebnisse sind Normalenvektoren derselben Ebene.
Wie prüfst du dein Ergebnis?
Verlasse dich nicht allein auf das Kreuzprodukt. Prüfe den berechneten Vektor mit zwei Skalarprodukten.
Für einen Normalenvektor $\vec n$ der von $\vec u$ und $\vec v$ aufgespannten Ebene muss gelten:
$$\vec n\cdot\vec u=0\quad\text{und}\quad\vec n\cdot\vec v=0.$$
Prüfe $\vec n=(-2,3,-16)$ aus dem vorherigen Beispiel:
$$\vec n\cdot\vec u=(-2)\cdot(-2)+3\cdot4+(-16)\cdot1=4+12-16=0.$$
$$\vec n\cdot\vec v=(-2)\cdot3+3\cdot2+(-16)\cdot0=-6+6+0=0.$$
Beide Skalarprodukte sind $0$. Der Vektor ist deshalb tatsächlich zu beiden Spannvektoren orthogonal.
Typische Fehler vermeiden
- Skalar- und Kreuzprodukt verwechseln: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor; das Skalarprodukt liefert eine Zahl.
- Nur eine Orthogonalität prüfen: Bei einer Ebene müssen beide Skalarprodukte $0$ sein.
- Vorzeichen verlieren: Schreibe beim Kreuzprodukt jede Komponente zunächst vollständig auf.
- Den Nullvektor akzeptieren: Ein Ergebnis $\vec 0$ weist meist auf parallele Spannvektoren oder einen Rechenfehler hin.
- Gegenvektoren für verschieden halten: $\vec n$ und $-\vec n$ sind beide gültig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Normalenvektor
- Bedeutung: senkrechte Richtung, niemals Nullvektor
- Koordinatenform: Koeffizienten ablesen
- Parameterform: Kreuzprodukt bilden
- Prüfung: zwei Skalarprodukte ergeben jeweils null
- Mehrdeutigkeit: Gegenvektoren und andere Vielfache sind erlaubt
- Fehlerkontrolle: Vorzeichen und unabhängige Spannvektoren prüfen
Abschluss-Check
Du kannst einen Normalenvektor nun passend zur Darstellungsform bestimmen und das Ergebnis unabhängig mit Skalarprodukten kontrollieren.