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Koordinatenform: Geraden und Ebenen verstehen
Die Koordinatenform beschreibt eine Gerade oder Ebene durch eine lineare Gleichung. Ein Punkt gehört genau dann dazu, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt die Koordinatenform?
In der Ebene hat eine Gerade die Form
$$ax+by=c$$
Mindestens einer der Koeffizienten $a$ und $b$ muss ungleich null sein. Sonst entsteht keine Gerade.
Im dreidimensionalen Raum hat eine Ebene die Form
$$ax+by+cz=d$$
Mindestens einer der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ muss ungleich null sein.
Koordinatenform
Die Koordinatenform ist eine Gleichung für die Koordinaten aller Punkte eines geometrischen Objekts. Ein Koordinatenpaar $(x,y)$ beschreibt einen Punkt der Geraden, wenn es $ax+by=c$ erfüllt. Ein Koordinatentripel $(x,y,z)$ beschreibt einen Punkt der Ebene, wenn es $ax+by+cz=d$ erfüllt.
Die Gerade $x+2y=6$ enthält den Punkt $(0,3)$, denn
$$0+2·3=6$$
Auch $(4,1)$ liegt auf der Geraden, weil
$$4+2·1=6$$
Wie funktioniert die Punktprobe?
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes für die Variablen ein. Danach vergleichst du die berechnete linke Seite mit der rechten Seite.
- Sind beide Seiten gleich, liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene.
- Sind sie verschieden, liegt der Punkt nicht darauf.
Gegeben ist die Ebene
$$E: 2x-3y-7z=31$$
Für $A(1,2,-2)$ erhältst du
$$2·1-3·2-7·(-2)=2-6+14=10$$
Weil $10≠31$ gilt, liegt $A$ nicht auf $E$.
Für $B(5,0,-3)$ erhältst du
$$2·5-3·0-7·(-3)=10+0+21=31$$
Damit liegt $B$ auf $E$.
Bei einer Punktprobe genügt nicht das Einsetzen. Schreibe am Ende ausdrücklich, ob die berechnete Zahl mit der rechten Seite übereinstimmt und was das für den Punkt bedeutet.
Was verraten die Koeffizienten?
Der Vektor aus den Koordinatenkoeffizienten steht senkrecht auf der Geraden oder Ebene. Er heißt Normalenvektor.
- Bei $ax+by=c$ ist $n=(a,b)$ ein Normalenvektor der Geraden.
- Bei $ax+by+cz=d$ ist $n=(a,b,c)$ ein Normalenvektor der Ebene.
Aus der Ebene
$$2x+4y-3z=35$$
liest du den Normalenvektor
$$n=(2,4,-3)$$
ab. Die Zahl $35$ gehört nicht zum Normalenvektor.
Wie wird die Normalenform umgewandelt?
Eine Ebene kann durch einen Stützpunkt $p=(p_1,p_2,p_3)$ und einen Normalenvektor $n=(n_1,n_2,n_3)$ beschrieben werden. Ihre Normalenform bedeutet: Der Verbindungsvektor von $p$ zu einem Ebenenpunkt steht senkrecht auf $n$.
Für die Umwandlung gehst du so vor:
- Schreibe das Skalarprodukt komponentenweise aus.
- Multipliziere die Klammern aus.
- Sammle die Variablenterme auf einer Seite und die Konstanten auf der anderen.
Aus
$$n·(x-p)=0$$
wird dadurch
$$n_1x+n_2y+n_3z=n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3$$
Gegeben sind der Normalenvektor $n=(2,4,-3)$ und der Stützpunkt $p=(8,4,-1)$.
Komponentenweise lautet die Normalenform:
$$2(x-8)+4(y-4)-3(z-(-1))=0$$
Multipliziere aus:
$$2x-16+4y-16-3z-3=0$$
Fasse die Konstanten zusammen und stelle um:
$$2x+4y-3z=35$$
Zur Kontrolle setzt du den Stützpunkt ein:
$$2·8+4·4-3·(-1)=16+16+3=35$$
Der Stützpunkt erfüllt die neue Gleichung.
Wie erkennst du besondere Lagen?
Fehlt eine Koordinate, weil ihr Koeffizient null ist, hängt die Gleichung nicht von dieser Koordinate ab. Das geometrische Objekt verläuft deshalb parallel zur zugehörigen Achse.
- $a=0$: Die Gerade oder Ebene verläuft parallel zur x-Achse.
- $b=0$: Die Gerade oder Ebene verläuft parallel zur y-Achse.
- Bei einer Ebene gilt zusätzlich: $c=0$ bedeutet parallel zur z-Achse.
- Ist die rechte Seite null, verläuft die Gerade oder Ebene durch den Ursprung.
Die Ebene
$$4y-3z=-5$$
enthält keinen x-Term. Sie verläuft parallel zur x-Achse.
Die Ebene
$$2x+4y-3z=0$$
enthält den Ursprung $(0,0,0)$, denn beim Einsetzen ergibt die linke Seite null.
Wenn die rechte Seite $1$ ist und kein Koordinatenkoeffizient null ist, kannst du die Achsenschnittpunkte direkt ablesen. Für
$$ax+by+cz=1$$
lauten sie
$$S_x=(1/a,0,0), S_y=(0,1/b,0), S_z=(0,0,1/c)$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Fehlt in einer Ebenengleichung der x-Term, verläuft die Ebene parallel zur . Ist die rechte Seite null, liegt der auf der Ebene. Die Koeffizienten vor den Koordinaten bilden den .
Vertiefung: Von der Parameterform zur Koordinatenform
Eine Ebene in Parameterform besitzt einen Stützpunkt $p$ und zwei nicht parallele Richtungsvektoren $u$ und $v$. Für die Koordinatenform brauchst du einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht.
Diesen Normalenvektor erhältst du mit dem Kreuzprodukt:
$$n=u×v$$
Danach berechnest du die rechte Seite mit
$$d=n·p$$
Die Komponenten von $n$ werden die Koeffizienten vor $x$, $y$ und $z$.
Gegeben sind
$$p=(2,1,5), u=(-1,1,0), v=(0,-1,4)$$
Das Kreuzprodukt ergibt
$$n=(4,4,1)$$
Kontrolle der Senkrechtstellung:
$$n·u=4·(-1)+4·1+1·0=0$$
$$n·v=4·0+4·(-1)+1·4=0$$
Nun berechnest du die rechte Seite:
$$d=n·p=4·2+4·1+1·5=17$$
Damit lautet die Koordinatenform
$$4x+4y+z=17$$
Ein berechnetes Kreuzprodukt ist nur dann als Normalenvektor geeignet, wenn es zu beiden Richtungsvektoren senkrecht ist. Prüfe daher beide Skalarprodukte: Sie müssen jeweils null ergeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Koordinatenform
- Gerade in der Ebene
- $ax+by=c$
- Ebene im Raum
- $ax+by+cz=d$
- Punktprobe
- Koordinaten einsetzen und Gleichheit prüfen
- Normalenvektor
- Koeffizienten der Variablen ablesen
- Umwandlung
- Aus Normalenform ausmultiplizieren
- Aus Parameterform Kreuzprodukt bilden
- Besondere Lage
- Fehlende Koordinate bedeutet Achsenparallelität
- Rechte Seite null bedeutet Ursprungslage
- Gerade in der Ebene
Abschluss-Check
Du kannst die Koordinatenform nun erkennen, Punkte prüfen, den Normalenvektor ablesen und Ebenengleichungen aus Normalen- oder Parameterformen gewinnen. Kontrolliere Umwandlungen immer mit einem bekannten Ebenenpunkt und prüfe berechnete Normalenvektoren auf ihre Senkrechtstellung.