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Ebenengleichungen: aufstellen und umwandeln
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kannst du auf drei Arten beschreiben: mit zwei Richtungen, mit einem senkrechten Vektor oder mit einer Koordinatengleichung. Welche Form günstig ist, hängt von der Aufgabe ab.
Auf dieser Seite lernst du, Ebenen aus drei Punkten aufzustellen, zwischen den Darstellungsformen zu wechseln und Punkte sowie Spurpunkte zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Drei Formen beschreiben dieselbe Ebene
Eine Ebene ist ein unbegrenzt ausgedehntes, flaches Objekt im dreidimensionalen Raum. Dieselbe Ebene kann durch unterschiedliche Gleichungen dargestellt werden.
Parameterform
Die Parameterform lautet
$$E:\ \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v,\qquad r,s\in\mathbb R.$$
Der Stützvektor $\vec p$ führt zu einem festen Punkt der Ebene. Die Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$ geben zwei Richtungen innerhalb der Ebene an. Durch verschiedene Werte von $r$ und $s$ entstehen alle Ebenenpunkte.
Die Spannvektoren müssen linear unabhängig sein. Das bedeutet: Keiner darf ein Vielfaches des anderen sein. Andernfalls liefern sie nur eine Richtung und spannen keine Ebene auf.
Normalenform
Die Normalenform lautet
$$E:\ (\vec x-\vec p)\cdot\vec n=0.$$
Der Normalenvektor $\vec n$ steht senkrecht auf der Ebene. Deshalb ist sein Skalarprodukt mit jedem Richtungsvektor der Ebene gleich null.
Koordinatenform
Die Koordinatenform lautet
$$E:\ ax_1+bx_2+cx_3=d.$$
Der Vektor $\vec n=(a|b|c)^T$ ist ein Normalenvektor der Ebene. Jeder Punkt der Ebene erfüllt die Gleichung.
Parameterform: zwei Richtungen in der Ebene. Normalenform: eine Richtung senkrecht zur Ebene. Koordinatenform: eine Gleichung für die Koordinaten aller Ebenenpunkte.
Eine Ebene aus drei Punkten aufstellen
Drei Punkte bestimmen genau dann eine Ebene, wenn sie nicht alle auf derselben Geraden liegen. Wähle einen Punkt als Stützpunkt und bilde von ihm aus zwei Verbindungsvektoren.
Gegeben seien
$$A(1|1|1),\qquad B(2|0|4),\qquad C(4|0|3).$$
Wir wählen $A$ als Stützpunkt. Dann gilt:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(1|-1|3)^T,$$
$$\overrightarrow{AC}=C-A=(3|-1|2)^T.$$
Die beiden Vektoren sind keine Vielfachen. Sie sind daher linear unabhängig und spannen eine Ebene auf.
Die Parameterform der Ebene durch $A$, $B$ und $C$ ist
$$E:\ \vec x=(1|1|1)^T+r(1|-1|3)^T+s(3|-1|2)^T.$$
Für $r=0$ und $s=0$ erhältst du den Stützpunkt $A$. Für $r=1$, $s=0$ erhältst du $B$; für $r=0$, $s=1$ erhältst du $C$.
Von der Parameterform zur Koordinatenform
Der Schlüssel für diese Umwandlung ist der Normalenvektor. Aus den Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$ kannst du ihn mit dem Kreuzprodukt bestimmen:
$$\vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2\;|\;u_3v_1-u_1v_3\;|\;u_1v_2-u_2v_1)^T.$$
Für $\vec u=(1|-1|3)^T$ und $\vec v=(3|-1|2)^T$ ergibt sich:
$$\vec n=\vec u\times\vec v=(1|7|2)^T.$$
Die Kontrolle über die Skalarprodukte zeigt, dass $\vec n$ wirklich senkrecht auf beiden Spannvektoren steht:
$$\vec n\cdot\vec u=1-7+6=0,$$
$$\vec n\cdot\vec v=3-7+4=0.$$
Mit dem Stützpunkt $A(1|1|1)$ folgt zunächst die Normalenform:
$$E:\ (\vec x-(1|1|1)^T)\cdot(1|7|2)^T=0.$$
Für die Koordinatenform setzt du $\vec n=(1|7|2)^T$ als Koeffizienten ein. Die rechte Seite ist
$$d=\vec n\cdot\vec p=1+7+2=10.$$
Damit lauten die drei Darstellungen derselben Ebene:
$$E:\ \vec x=(1|1|1)^T+r(1|-1|3)^T+s(3|-1|2)^T,$$
$$E:\ (\vec x-(1|1|1)^T)\cdot(1|7|2)^T=0,$$
$$E:\ x_1+7x_2+2x_3=10.$$
Der sichere Umwandlungsweg lautet: Spannvektoren $\rightarrow$ Normalenvektor $\rightarrow$ Normalenform $\rightarrow$ Koordinatenform.
Von der Koordinatenform zurück zur Parameterform
Aus $ax_1+bx_2+cx_3=d$ kannst du den Normalenvektor sofort ablesen:
$$\vec n=(a|b|c)^T.$$
Für eine Normalenform brauchst du zusätzlich einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt. Für eine Parameterform benötigst du einen Stützpunkt und zwei linear unabhängige Spannvektoren.
Betrachte die Ebene
$$E:\ 2x_1+4x_2+3x_3=12.$$
Setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich null, erhältst du drei Ebenenpunkte:
$$S_1(6|0|0),\qquad S_2(0|3|0),\qquad S_3(0|0|4).$$
Mit $S_1$ als Stützpunkt sind zwei Spannvektoren:
$$\overrightarrow{S_1S_2}=(-6|3|0)^T,$$
$$\overrightarrow{S_1S_3}=(-6|0|4)^T.$$
Eine mögliche Parameterform lautet daher
$$E:\ \vec x=(6|0|0)^T+r(-6|3|0)^T+s(-6|0|4)^T.$$
Eine passende Normalenform ist
$$E:\ (\vec x-(6|0|0)^T)\cdot(2|4|3)^T=0.$$
Parameterformen sind nicht eindeutig. Du darfst andere Ebenenpunkte und andere linear unabhängige Spannvektoren wählen, solange sie dieselbe Ebene beschreiben.
Punkte prüfen, Spurpunkte finden und Formen wählen
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein. Die Koordinatenform ist dafür meist besonders günstig.
Für $R(2|1|11)$ und
$$E:\ 3x_1+7x_2-x_3=2$$
erhältst du:
$$3\cdot2+7\cdot1-11=2.$$
Die Gleichung ist erfüllt. Also liegt $R$ auf der Ebene.
In der Parameterform würdest du stattdessen prüfen, ob es gemeinsame Parameterwerte gibt, die alle drei Koordinatengleichungen erfüllen.
Spurpunkt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Koordinatenachse. Für den Schnitt mit einer Achse setzt du die beiden anderen Koordinaten gleich null.
Für $2x_1+4x_2+3x_3=12$ erhältst du so:
- $x_1$-Achse: $x_2=x_3=0$, also $S_1(6|0|0)$.
- $x_2$-Achse: $x_1=x_3=0$, also $S_2(0|3|0)$.
- $x_3$-Achse: $x_1=x_2=0$, also $S_3(0|0|4)$.
Nicht jede Ebene besitzt auf jeder Koordinatenachse einen endlichen Spurpunkt. Ist der zugehörige Koeffizient null, kann die Ebene zu dieser Achse parallel sein oder die Achse enthalten. Prüfe dann die verbleibende Gleichung.
Wähle die Form nach der Aufgabe: Parameterform zum Aufspannen, Normalenform für die senkrechte Richtung, Koordinatenform für Punktproben und Spurpunkte.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ebenengleichungen
- Parameterform: Stützpunkt und zwei Spannrichtungen
- Normalenform: Stützpunkt und senkrechter Normalenvektor
- Koordinatenform: lineare Gleichung der Punktkoordinaten
- Aufstellen: drei nicht kollineare Punkte verwenden
- Umwandeln: Normalenvektor als Schlüssel bestimmen
- Prüfen: Punktprobe und Spurpunkte berechnen
Die drei Formen beschreiben nicht drei verschiedene Ebenen, sondern drei Sichtweisen auf dasselbe geometrische Objekt. Kontrolliere eine Umwandlung, indem du den Stützpunkt einsetzt und die Orthogonalität von Normalen- und Spannvektoren prüfst.
Abschluss-Check
Wenn du jede Antwort begründen kannst, beherrschst du den Kern: Ebene aufspannen, Normalenvektor bestimmen, Darstellungsform wechseln und das Ergebnis prüfen.