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Ebenengleichungen beschreiben flache Flächen im dreidimensionalen Raum. Mit ihnen kannst du prüfen, ob Punkte auf einer Ebene liegen, und Lagebeziehungen in der Analytischen Geometrie untersuchen.
- Ich kann die Parameterform einer Ebene erklären.
- Ich kann Stützvektor und Richtungsvektoren benennen.
- Ich kann prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt.
- Ich kann Normalenform und Koordinatenform einordnen.
Parameterform verstehen
Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei unabhängige Richtungen. Der Punkt wird durch den Stützvektor beschrieben. Die Richtungen heißen Richtungsvektoren.
Parameterform
Eine Ebene kann so geschrieben werden: \(E:\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}+s\vec{v}\). Dabei ist \(\vec{p}\) ein Stützvektor, \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind Richtungsvektoren, \(r\) und \(s\) sind Parameter.
\(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\)
Der Punkt \(P(1|2|0)\) liegt sicher auf der Ebene, denn er entsteht bei \(r=0\) und \(s=0\).
Ein Punkt plus zwei verschiedene Richtungen spannen eine Ebene auf.
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Punktprobe
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes für \(\vec{x}\) ein. Dann prüfst du, ob du passende Parameter \(r\) und \(s\) findest.
Prüfe \(Q(3|5|2)\) für die Ebene aus dem ersten Beispiel.
Du brauchst:
Aus der x-Koordinate folgt \(3=1+2r\), also \(r=1\). Aus der y-Koordinate folgt \(5=2+3s\), also \(s=1\). Dann ergibt die z-Koordinate \(2=0+1+1\). Das stimmt. Also liegt \(Q\) auf \(E\).
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Prüfungsmodus
Viele Aufgaben wechseln zwischen Formen: Parameterform, Normalenform und Koordinatenform. Prüfe immer, welche Information sichtbar ist. Parameterform zeigt Punkte und Richtungen, Koordinatenform eignet sich schnell für Punktproben.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Ebenengleichungen beschreiben Flächen im Raum. In der Parameterform brauchst du einen Punkt und zwei unabhängige Richtungen. Punktproben gelingen, indem du passende Parameter suchst.