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Sinussatz: Formel, Beispiele und Aufgaben
Der Sinussatz verbindet in jedem Dreieck eine Seite mit dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels. Sobald du ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar kennst, kannst du damit oft eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Seiten und Winkel richtig zuordnen
In einem Dreieck heißen die Seiten $a$, $b$ und $c$. Ihnen liegen die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ jeweils gegenüber:
- $a$ gehört zu $\alpha$,
- $b$ gehört zu $\beta$,
- $c$ gehört zu $\gamma$.
Sinussatz
Für jedes Dreieck gilt:
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$
Jeder Quotient besteht aus einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels.
Du brauchst für eine unmittelbare Anwendung mindestens ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar, etwa $a$ und $\alpha$. Wähle aus der Dreifachgleichung nur die beiden Quotienten, die die bekannte und die gesuchte Größe enthalten.
Schau zuerst gegenüber: Seite und Winkel müssen ein Paar bilden. Erst danach wählst du die Formel.
Eine fehlende Seite berechnen
Gegeben seien $a=6{,}10$, $\alpha=45^\circ$ und $\beta=55^\circ$. Gesucht ist $b$.
1. Paare wählen: Zu $a$ gehört $\alpha$, zu $b$ gehört $\beta$.
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$
2. Nach $b$ umstellen:
$$b=\frac{a\cdot\sin\beta}{\sin\alpha}$$
3. Einsetzen und im Gradmodus rechnen:
$$b=\frac{6{,}10\cdot\sin55^\circ}{\sin45^\circ}\approx7{,}07$$
Gerundet auf eine Dezimalstelle ist $b\approx7{,}1$. Das ist plausibel: $55^\circ$ ist größer als $45^\circ$, und in diesem Bereich ist auch der Sinuswert größer. Daher ist die gegenüberliegende Seite $b$ länger als $a$.
Der Ablauf bleibt immer gleich:
- vollständiges bekanntes Paar markieren,
- passenden zweiten Quotienten wählen,
- nach der gesuchten Seite umstellen,
- einsetzen, die angegebene Einheit übernehmen und das Ergebnis prüfen.
Einen Winkel berechnen und beide Lösungen prüfen
Beim Berechnen eines Winkels stellst du zunächst nach seinem Sinuswert um und verwendest dann den Arkussinus. Auf dem Taschenrechner steht dafür oft $\sin^{-1}$ oder asin. Das ist nicht der Kehrwert $1/\sin$.
Im Fall Seite–Seite–Winkel kann derselbe positive Sinuswert zu zwei Winkeln gehören. Denn für Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ gilt:
$$\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta)$$
Gegeben sind $a=7$, $c=4$ und $\gamma=30^\circ$. Gesucht ist $\alpha$.
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$$
$$\sin\alpha=\frac{a\cdot\sin\gamma}{c}=\frac{7\cdot\sin30^\circ}{4}=0{,}875$$
Der Taschenrechner liefert zunächst
$$\alpha_1=\arcsin(0{,}875)\approx61{,}0^\circ.$$
Die Ergänzungslösung ist
$$\alpha_2=180^\circ-61{,}0^\circ=119{,}0^\circ.$$
Beide passen hier: Mit $\gamma=30^\circ$ bleibt für den dritten Winkel einmal etwa $89{,}0^\circ$ und einmal etwa $31{,}0^\circ$. Es entstehen also zwei verschiedene Dreiecke.
Prüfe nach jeder Winkelberechnung:
- Gibt es die Ergänzungslösung $180^\circ-\theta$?
- Bleiben alle Winkel positiv und ergeben zusammen $180^\circ$?
- Ist jede Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten?
Beim Beispiel $a=5{,}4\,\mathrm{cm}$, $b=3{,}8\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=73^\circ$ ergibt sich $\beta\approx42{,}3^\circ$. Die Ergänzung $137{,}7^\circ$ scheidet aus, weil $73^\circ+137{,}7^\circ>180^\circ$ wäre.
Zwischen Sinus- und Kosinussatz entscheiden
Der Sinussatz ist unmittelbar geeignet, wenn ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar bekannt ist und du die gegenüberliegende Größe eines weiteren Paares suchst.
Der Kosinussatz ergänzt ihn. Verwende ihn besonders bei diesen Angaben:
- drei bekannte Seiten und ein gesuchter Winkel,
- zwei bekannte Seiten und ihr eingeschlossener Winkel sowie die gesuchte dritte Seite.
Für die Seite $c$ lautet er:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Bei $\gamma=90^\circ$ ist $\cos90^\circ=0$. Dann bleibt $c^2=a^2+b^2$: Der Satz des Pythagoras ist dieser Spezialfall des Kosinussatzes.
Manchmal wechselst du während einer Aufgabe den Satz. Sobald du mit dem Kosinussatz ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar gewonnen hast, kann der Sinussatz für weitere Größen passend sein.
Warum der Sinussatz gilt
Eine Höhe zerlegt ein Dreieck in rechtwinklige Teildreiecke. Zeichnest du die Höhe $h_c$ zur Seite $c$, erhältst du im spitzwinkligen Fall zwei Beschreibungen derselben Höhe:
$$h_c=a\sin\beta$$
$$h_c=b\sin\alpha$$
Weil beide Terme dieselbe Länge bezeichnen, kannst du sie gleichsetzen:
$$a\sin\beta=b\sin\alpha$$
Durch Division erhältst du
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}.$$
Mit den anderen Höhen entstehen ebenso die Quotienten mit $c$ und $\gamma$. So folgt der vollständige Sinussatz. Bei einem stumpfen Winkel wird der zu $180^\circ$ ergänzende Winkel verwendet. Da $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ gilt, bleibt dieselbe Beziehung erhalten.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Höhe lässt sich als $h_c=a\sin\beta$ und als $h_c=b\sin\alpha$ schreiben. Weil beide Terme beschreiben, werden sie gleichgesetzt. Der Sinus eines stumpfen Winkels stimmt mit dem Sinus des zu $180^\circ$ überein. Deshalb gilt der Sinussatz in .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sinussatz
- Zuordnung: Seite und Gegenwinkel
- Formel: Seite geteilt durch Sinus des Gegenwinkels
- Anwendung: Seite oder Winkel berechnen
- Winkelprüfung: Ergänzungslösung und Winkelsumme
- Satzwahl: vollständiges Paar nötig
- Kontrolle: Gradmodus und Dreiecksbedingungen