Sinussatz: Seiten und Winkel sicher berechnen

In einem Dreieck heißen die Seiten $a$, $b$ und $c$. Ihnen liegen die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ jeweils gegenüber:

• $a$ gehört zu $\alpha$,
• $b$ gehört zu $\beta$,
• $c$ gehört zu $\gamma$.

Zur Erinnerung: Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse. Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber; die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Für die Rechnungen hier stellst du deinen Taschenrechner auf DEG, also Gradmaß. Die drei Innenwinkel eines Dreiecks sind positiv und ergeben zusammen $180^\circ$.

Du brauchst für eine unmittelbare Berechnung ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar, etwa $a$ und $\alpha$, sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Ein Paar allein reicht nicht aus. Sind eine Seite und zwei Winkel gegeben, kannst du den fehlenden Gegenwinkel zuerst mit der Winkelsumme bestimmen. Wähle aus der Dreifachgleichung nur die beiden Quotienten, die die bekannte und die gesuchte Größe enthalten.

Gegeben seien $a=6{,}10\,\mathrm{cm}$, $\alpha=45^\circ$ und $\beta=55^\circ$. Gesucht ist $b$.

Der Ablauf bleibt immer gleich:

1. vollständiges bekanntes Paar markieren,
2. passenden zweiten Quotienten wählen,
3. nach der gesuchten Seite umstellen,
4. einsetzen, die angegebene Einheit übernehmen und das Ergebnis prüfen.

Beim Berechnen eines Winkels stellst du zunächst nach seinem Sinuswert um und verwendest dann den Arkussinus. Auf dem Taschenrechner steht dafür oft $\sin^{-1}$ oder asin. Das ist nicht der Kehrwert $1/\sin$.

Im Fall Seite–Seite–Winkel kennst du zwei Seiten und einen Winkel, der einer davon gegenüberliegt. Hier kann derselbe positive Sinuswert zu zwei Winkeln gehören. Denn für Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ gilt:

$$\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta)$$

Prüfe zuerst den berechneten Sinuswert: Für einen Innenwinkel muss er größer als $0$ und höchstens $1$ sein. Bei $1$ ist der Winkel $90^\circ$; die Ergänzung ergibt denselben Winkel und keine zweite Lösung. Ein Wert über $1$ bedeutet, dass die Angaben kein Dreieck zulassen. Zum Beispiel würden $a=4\,\mathrm{cm}$, $\alpha=30^\circ$ und $b=9\,\mathrm{cm}$ zu $\sin\beta=9\cdot0{,}5/4=1{,}125$ führen.

Prüfe nach jeder Winkelberechnung:

• Gibt es die Ergänzungslösung $180^\circ-\theta$?
• Bleiben alle Winkel positiv und ergeben zusammen $180^\circ$?
• Passen die Ergebnisse zu allen gegebenen Größen? Sobald alle Seiten bekannt sind, prüfe außerdem: Ist jede Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten?

Beim Beispiel $a=5{,}4\,\mathrm{cm}$, $b=3{,}8\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=73^\circ$ berechnest du $\sin\beta=\frac{3{,}8\sin73^\circ}{5{,}4}\approx0{,}673$ und daraus $\beta\approx42{,}3^\circ$. Die Ergänzung $137{,}7^\circ$ scheidet aus, weil $73^\circ+137{,}7^\circ>180^\circ$ wäre.

Der Sinussatz ist unmittelbar geeignet, wenn ein vollständiges Seiten-Winkel-Paar und eine Größe eines weiteren Paares bekannt sind. Gesucht ist dann die gegenüberliegende Größe dieses weiteren Paares.

Der Kosinussatz ergänzt ihn. Der Kosinus, geschrieben $\cos$, ist eine weitere Winkelfunktion. Bei einem spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist er das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse; die Ankathete ist die am Winkel anliegende Seite, die nicht die Hypotenuse ist. Verwende den Kosinussatz besonders bei diesen Angaben:

• drei bekannte Seiten und ein gesuchter Winkel,
• zwei bekannte Seiten und ihr eingeschlossener Winkel sowie die gesuchte dritte Seite.

Der eingeschlossene Winkel liegt zwischen den beiden gegebenen Seiten. Zwischen $a$ und $b$ liegt $\gamma$. Für die Seite $c$ lautet der Kosinussatz:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

Bei $\gamma=90^\circ$ ist $\cos90^\circ=0$. Dann bleibt $c^2=a^2+b^2$: Der Satz des Pythagoras ist dieser Spezialfall des Kosinussatzes.

Eine Höhe ist die senkrechte Strecke von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite oder deren Verlängerung. Zeichnest du in einem spitzwinkligen Dreieck die Höhe $h_c$ zur Seite $c$, entstehen zwei rechtwinklige Teildreiecke. Dort gilt $\sin\beta=h_c/a$ und $\sin\alpha=h_c/b$. Nach der Höhe umgestellt erhältst du:

$$h_c=a\sin\beta$$

$$h_c=b\sin\alpha$$

Weil beide Terme dieselbe Länge bezeichnen, kannst du sie gleichsetzen:

$$a\sin\beta=b\sin\alpha$$

Dividiere beide Seiten durch $\sin\alpha\cdot\sin\beta$. Diese Werte sind für Innenwinkel positiv, also nicht null. Du erhältst

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}.$$

Mit den anderen Höhen entstehen ebenso die Quotienten mit $c$ und $\gamma$. So folgt der vollständige Sinussatz. Im rechtwinkligen Fall kann eine Höhe mit einer Seite zusammenfallen; die entsprechende Gleichung gilt weiterhin, weil $\sin90^\circ=1$ ist. Bei einem stumpfen Winkel, also einem Winkel über $90^\circ$, kann die Höhe auf der Verlängerung der Gegenseite liegen. Im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck verwendest du den zu $180^\circ$ ergänzenden Winkel. Da $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ gilt, bleibt dieselbe Beziehung erhalten.