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Wenn in einem Dreieck nicht unbedingt ein rechter Winkel vorkommt, hilft der Sinussatz. Nach dieser Seite kannst du fehlende Seiten oder Winkel berechnen, wenn passende Gegenüber-Paare gegeben sind.
- Ich kann Gegenwinkel und Gegenseite zuordnen.
- Ich kann den Sinussatz formulieren.
- Ich kann fehlende Seiten berechnen.
- Ich kann fehlende Winkel berechnen.
- Ich kann den mehrdeutigen Fall erkennen.
Grundidee
Lange Seiten liegen größeren Winkeln gegenüber. Der Sinussatz macht diesen Zusammenhang berechenbar.
Sinussatz
Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck: \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). Jede Seite wird mit dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels verglichen.
Gegeben sind \(a=8\) cm, \(\alpha=40^\circ\) und \(\beta=65^\circ\). Gesucht ist \(b\).
- Nutze \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\).
- Stelle um: \(b=\frac{a\cdot\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\).
- Einsetzen: \(b=\frac{8\cdot\sin(65^\circ)}{\sin(40^\circ)}\).
- Das ergibt ungefähr \(11{,}3\) cm.
Der Winkel muss immer zur gegenüberliegenden Seite gehören. Falsch zugeordnete Paare liefern falsche Ergebnisse.
Schritt für Schritt
Fehlt ein Winkel, stellst du den Sinussatz nach dem Sinus dieses Winkels um. Danach nutzt du die Umkehrfunktion \(\sin^{-1}\) und prüfst die Winkelsumme im Dreieck.
Gegeben sind \(a=6\) cm, \(b=9\) cm und \(\alpha=35^\circ\). Gesucht ist \(\beta\).
- \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\).
- Also \(\sin(\beta)=\frac{b\cdot\sin(\alpha)}{a}\).
- Einsetzen: \(\sin(\beta)=\frac{9\cdot\sin(35^\circ)}{6}\approx0{,}860\).
- \(\beta\approx59{,}3^\circ\) oder ergänzend \(120{,}7^\circ\).
- Ob beide passen, entscheidet die restliche Winkelsumme und die Zeichnung.
Der Sinussatz ist besonders nützlich bei SSW- oder WSW-Angaben. Bei zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel ist oft zuerst der Kosinussatz praktischer.
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Typische Fehler erkennen
Beim Berechnen eines Winkels kann es zwei mögliche Winkel mit demselben Sinus geben. Ignoriere den zweiten Fall nicht automatisch.
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Prüfungsmodus
Skizziere das Dreieck und schreibe Winkel und Gegenseiten sauber ein. Prüfe nach dem Rechnen: Der größeren Seite muss der größere Winkel gegenüberliegen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck.
- Er verbindet jede Seite mit dem Sinus ihres Gegenwinkels.
- Für Seiten rechnest du direkt um, für Winkel nutzt du den Umkehrsinus.
- Skizze und Winkelsumme sind wichtige Kontrollen.