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Kosinussatz: Seiten und Winkel richtig berechnen
Mit dem Kosinussatz berechnest du in einem beliebigen Dreieck eine fehlende Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Sind alle drei Seiten bekannt, kannst du damit auch einen Winkel bestimmen. Entscheidend ist: Die Seite auf der linken Seite der Formel liegt dem verwendeten Winkel gegenüber.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So ordnest du Seiten und Winkel zu
In einem Dreieck liegt die Seite $a$ dem Winkel $\alpha$ gegenüber. Entsprechend gehören $b$ und $\beta$ sowie $c$ und $\gamma$ zusammen.
Kosinussatz
Für jedes Dreieck gelten drei gleichwertige Formen:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
So findest du die richtige Form:
- Suche den gegebenen oder gesuchten Winkel.
- Bestimme die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt.
- Setze diese Seite links ein. Rechts stehen die beiden Seiten, die den Winkel einschließen.
Winkel und Gegenseite bilden ein Paar: $\alpha\leftrightarrow a$, $\beta\leftrightarrow b$, $\gamma\leftrightarrow c$.
So berechnest du eine fehlende Seite
Kennst du zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, gehst du in vier Schritten vor:
- Wähle die Form mit der gesuchten Seite links.
- Setze die beiden Seiten und den eingeschlossenen Winkel ein.
- Berechne zuerst den Ausdruck für das Seitenquadrat.
- Ziehe die positive Quadratwurzel, denn eine Seitenlänge ist positiv.
Zwei Straßen von einem Ort aus sind $30\,\mathrm{km}$ und $20\,\mathrm{km}$ lang. Der eingeschlossene Winkel beträgt $60^\circ$. Gesucht ist die direkte Verbindung $x$ zwischen den Endpunkten.
Der gesuchten Seite $x$ liegt der Winkel von $60^\circ$ gegenüber. Daher gilt:
$$x^2=30^2+20^2-2\cdot30\cdot20\cdot\cos60^\circ$$
Mit $\cos60^\circ=0{,}5$ folgt:
$$x^2=900+400-600=700$$
$$x=\sqrt{700}\approx26{,}5\,\mathrm{km}$$
Der Weg über die beiden vorhandenen Straßen ist $30\,\mathrm{km}+20\,\mathrm{km}=50\,\mathrm{km}$ lang. Die direkte Verbindung spart also ungefähr $50\,\mathrm{km}-26{,}5\,\mathrm{km}=23{,}5\,\mathrm{km}$.
Prüfe das Ergebnis: Die dritte Seite muss kleiner als $30\,\mathrm{km}+20\,\mathrm{km}=50\,\mathrm{km}$ sein. $26{,}5\,\mathrm{km}$ ist daher plausibel.
So bestimmst du einen Winkel aus drei Seiten
Sind $a$, $b$ und $c$ bekannt, stellst du den Kosinussatz nach dem Kosinus des gesuchten Winkels um. Für $\alpha$ erhältst du:
$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
Danach verwendest du die Umkehrfunktion des Kosinus:
$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$
Auf dem Taschenrechner heißt diese Funktion oft acos oder cos⁻¹. Stelle den Winkelmodus auf Grad ein.
Ein Dreieck hat die Seiten $a=b=c=6\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $\alpha$.
$$\cos\alpha=\frac{6^2+6^2-6^2}{2\cdot6\cdot6}=\frac{36}{72}=\frac12$$
$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac12\right)=60^\circ$$
Das passt: Bei drei gleich langen Seiten sind auch die drei Winkel gleich groß und ergeben zusammen $180^\circ$.
Warum der Korrekturterm nötig ist
Der Kosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras um den Term $-2ab\cos\gamma$. Dieser Term berücksichtigt, wie weit der Winkel $\gamma$ von einem rechten Winkel abweicht.
Vertiefung: Herleitung für ein spitzwinkliges Dreieck
Eine Höhe zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Für die Höhe $h_b$ und eine Teilstrecke $d$ gilt:
$$h_b=a\sin\gamma$$
$$d=b-a\cos\gamma$$
Mit dem Satz des Pythagoras folgt:
$$c^2=h_b^2+d^2$$
Setzt du beide Ausdrücke ein und entwickelst das Quadrat, erhältst du:
$$c^2=a^2\sin^2\gamma+b^2-2ab\cos\gamma+a^2\cos^2\gamma$$
Da $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ gilt, werden die beiden $a^2$-Terme zusammengefasst:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Diese Höhenkonstruktion zeigt den Rechenweg für ein spitzwinkliges Dreieck. Der Kosinussatz selbst gilt für jedes Dreieck, also auch für stumpfwinklige Dreiecke.
Der rechte Winkel als Spezialfall
Für $\gamma=90^\circ$ gilt $\cos90^\circ=0$. Der Korrekturterm verschwindet:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot0=a^2+b^2$$
Damit ist der Satz des Pythagoras der rechtwinklige Spezialfall des Kosinussatzes.
So vermeidest du typische Fehler
- Falsches Seite-Winkel-Paar: Prüfe zuerst, welche Seite dem Winkel gegenüberliegt.
- Nicht eingeschlossener Winkel: Zur Seitenberechnung brauchst du den Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten. Ist stattdessen eine Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel bekannt, ist häufig der Sinussatz passender.
- Wurzel vergessen: Die Formel liefert zunächst das Quadrat der gesuchten Seite.
- Falscher Taschenrechnermodus: Für Winkel in Grad muss der Rechner im Gradmodus stehen.
- Zu frühes Runden: Runde erst das Endergebnis, damit sich Rundungsfehler nicht verstärken.
- Keine Plausibilitätsprüfung: In jedem Dreieck ist jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen Seiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kosinussatz
- Formelwahl
- Winkel und Gegenseite zuordnen
- eingeschlossenen Winkel erkennen
- Anwendungen
- dritte Seite aus zwei Seiten und Winkel
- Winkel aus drei Seiten
- Kontrolle
- Einheit und positive Wurzel
- Dreiecksungleichung und Winkelmodus
- Zusammenhang
- Korrekturterm $-2ab\cos\gamma$
- Pythagoras bei $90^\circ$
- Formelwahl