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Nicht jedes Dreieck hat einen rechten Winkel. Der Kosinussatz hilft dir trotzdem, fehlende Seiten oder Winkel zu berechnen.
- Ich kann das Thema Kosinussatz in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Der Kosinussatz verbindet drei Seiten und einen eingeschlossenen Winkel. Er erweitert den Satz des Pythagoras auf allgemeine Dreiecke.
Kosinussatz
Für ein Dreieck gilt \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\), wobei \(\gamma\) der Winkel zwischen den Seiten \(a\) und \(b\) ist.
Der Winkel in der Formel liegt immer zwischen den beiden verwendeten Seiten.
Schritt für Schritt
Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, berechnest du die dritte Seite. Wenn alle drei Seiten gegeben sind, stellst du nach dem Kosinus des Winkels um.
Gegeben: \(a=5\), \(b=7\), \(\gamma=60^\circ\).
\(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos(60^\circ)\).
Da \(\cos(60^\circ)=0{,}5\), gilt \(c^2=25+49-35=39\). Also \(c=\sqrt{39}\approx6{,}24\).
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Typische Fehler vermeiden
Setze nicht irgendeinen Winkel ein. Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen, die im Produkt \(2ab\) stehen.
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Prüfungsmodus
Skizziere das Dreieck und beschrifte gegenüberliegende Seiten. So vermeidest du, Winkel und Seite zu vertauschen.
Aus \(a=6\), \(b=8\), \(c=10\) folgt für \(\gamma\):
\(10^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos(\gamma)\).
\(100=100-96\cos(\gamma)\), also \(\cos(\gamma)=0\) und \(\gamma=90^\circ\).
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Kosinussatz ist dein Werkzeug für nicht rechtwinklige Dreiecke. Mit sauberer Beschriftung entscheidest du sicher, welche Größen in die Formel gehören.