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Mit dem Skalarprodukt kannst du Vektoren vergleichen: Zeigen sie ähnlich, senkrecht oder in entgegengesetzte Richtungen? In der Analytischen Geometrie ist das ein zentrales Werkzeug.
Hier lernst du, wie du das Skalarprodukt berechnest, was es geometrisch bedeutet und wie du damit Winkel und Orthogonalität prüfst.
- Ich kann das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.
- Ich kann erkennen, wann zwei Vektoren senkrecht sind.
- Ich kann den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.
- Ich kann Betrag und Skalarprodukt unterscheiden.
- Ich kann typische Prüfungsaufgaben sauber aufbauen.
Skalarprodukt berechnen
Beim Skalarprodukt multiplizierst du passende Koordinaten und addierst die Produkte.
Skalarprodukt
Für \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) und \(\vec b=(b_1,b_2,b_3)\) gilt:
\(\vec a=(2,-1,3)\) und \(\vec b=(4,5,-2)\).
\(\vec a\cdot\vec b=2\cdot4+(-1)\cdot5+3\cdot(-2)\)
\(=8-5-6=-3\).
Skalarprodukt heißt so, weil das Ergebnis ein Skalar ist: eine einzelne Zahl.
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Senkrechte Vektoren
Zwei Vektoren sind senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt \(0\) ist.
Orthogonalität
Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn sie senkrecht zueinander stehen. Für Vektoren gilt: \(\vec a\cdot\vec b=0\).
\(\vec u=(3,2)\) und \(\vec v=(2,-3)\).
\(\vec u\cdot\vec v=3\cdot2+2\cdot(-3)=6-6=0\).
Also sind die Vektoren senkrecht.
Skalarprodukt \(0\) ist der schnelle Senkrecht-Test.
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Betrag eines Vektors
Für Winkel brauchst du auch die Länge eines Vektors. Diese Länge heißt Betrag.
Betrag
Der Betrag eines Vektors \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) ist \(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).
\(\vec a=(3,4)\).
\(|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
\(\vec b=(1,2,2)\).
\(|\vec b|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3\).
Skalarprodukt und Betrag sind verschiedene Dinge: Das eine vergleicht zwei Vektoren, das andere misst eine Länge.
Winkel zwischen Vektoren
Das Skalarprodukt hängt mit dem Winkel zwischen zwei Vektoren zusammen.
Winkelformel
Für den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren gilt:
\(\vec a=(1,0)\) und \(\vec b=(1,1)\).
Skalarprodukt:
\(\vec a\cdot\vec b=1\).
Beträge:
\(|\vec a|=1\), \(|\vec b|=\sqrt2\).
Also:
\(\cos(\alpha)=\frac1{\sqrt2}\).
Daraus folgt \(\alpha=45^\circ\).
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Prüfungsmodus: Gerade und Ebene
In Aufgaben prüfst du oft, ob Richtungsvektoren senkrecht sind oder ob ein Winkel gesucht ist.
Eine Gerade hat Richtungsvektor \(\vec r=(2,1,-2)\), eine andere \(\vec s=(1,4,3)\).
\(\vec r\cdot\vec s=2+4-6=0\).
Die Geradenrichtungen sind orthogonal.
Schreibe erst die Vektoren auf, dann Skalarprodukt, dann Deutung. So bleibt der Lösungsweg nachvollziehbar.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der paarweisen Koordinatenprodukte. Es liefert eine Zahl.
Mit dem Skalarprodukt prüfst du Orthogonalität und berechnest Winkel. Für Winkel brauchst du zusätzlich die Beträge beider Vektoren.