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Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Skalarprodukt verbindet zwei gleichdimensionale Vektoren und liefert eine Zahl. Du multiplizierst Komponenten an derselben Position und addierst die Produkte. Mit dem Ergebnis kannst du Orthogonalität prüfen, Vektorlängen bestimmen und Winkel berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So berechnest du das Skalarprodukt
Zwei Vektoren dürfen nur dann mit dem Skalarprodukt verknüpft werden, wenn sie gleich viele Komponenten haben. Das Ergebnis ist ein Skalar, also eine Zahl und kein neuer Vektor.
Skalarprodukt
Für $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ und $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$ gilt:
$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
In der Ebene entfallen einfach die dritten Komponenten.
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Multipliziere die ersten Komponenten.
- Multipliziere die zweiten Komponenten und gegebenenfalls die dritten.
- Addiere alle Teilprodukte.
Gegeben sind $\vec a=(1,2,3)$ und $\vec b=(0,3,4)$.
$$\vec a\cdot\vec b=1\cdot0+2\cdot3+3\cdot4=0+6+12=18$$
Das Ergebnis ist die Zahl $18$. Besonders bei negativen Komponenten helfen Klammern gegen Vorzeichenfehler.
Orthogonalität mit einer Rechnung prüfen
Orthogonal bedeutet: Zwei Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Das erkennst du am Skalarprodukt.
Für gleichdimensionale Vektoren gilt:
$$\vec a\perp\vec b\quad\Longleftrightarrow\quad\vec a\cdot\vec b=0$$
Für $\vec a=(2,6)$ und $\vec b=(3,-1)$ erhältst du
$$\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+6\cdot(-1)=6-6=0.$$
Deshalb stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Ein häufiger Fehler ist die Schlussfolgerung „Das Skalarprodukt ist negativ, also sind die Vektoren orthogonal“. Orthogonalität liegt ausschließlich beim Wert $0$ vor.
Die Länge eines Vektors bestimmen
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist die Summe seiner quadrierten Komponenten. Daraus folgt die Länge:
$$|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}$$
Für $\vec a=(-3,4)$ rechnest du zuerst
$$\vec a\cdot\vec a=(-3)\cdot(-3)+4\cdot4=9+16=25.$$
Dann ziehst du die Quadratwurzel:
$$|\vec a|=\sqrt{25}=5\ \mathrm{LE}.$$
Die Länge ist $5$ Längeneinheiten und daher nicht negativ.
Nur der Nullvektor hat die Länge $0$.
Winkel und Vorzeichen verstehen
Für zwei Nichtnullvektoren und den eingeschlossenen Winkel $\varphi$ gilt:
$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$$
Nach dem Winkel umgestellt:
$$\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\right)$$
Der Winkel liegt zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$. Die Formel ist für den Nullvektor nicht anwendbar, weil dann im Nenner eine Länge $0$ steht.
Für $\vec a=(1,0)$ und $\vec b=(1,1)$ gilt:
$$\vec a\cdot\vec b=1,\qquad |\vec a|=1,\qquad |\vec b|=\sqrt2.$$
Also:
$$\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=45^\circ.$$
Die Rechnung passt zur Skizzenvorstellung: Beide Richtungen schließen einen spitzen Winkel ein.
Am Vorzeichen kannst du die Winkelart schon vor der genauen Berechnung erkennen:
- $\vec a\cdot\vec b>0$: spitzer Winkel,
- $\vec a\cdot\vec b=0$: rechter Winkel,
- $\vec a\cdot\vec b<0$: stumpfer Winkel.
Diese Einteilung gilt für Nichtnullvektoren.
Rechtwinkligkeit im Raum nachweisen
In einer Figur bildest du zuerst die Vektoren der beiden Seiten, die sich am zu prüfenden Eckpunkt treffen. Danach testest du ihr Skalarprodukt.
Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(2|1|3)$ und $C(-1|2|0)$. Ist das Dreieck bei $A$ rechtwinklig?
Die Seitenvektoren vom gemeinsamen Punkt $A$ aus sind
$$\overrightarrow{AB}=(2,1,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,2,0).$$
Nun prüfst du:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot(-1)+1\cdot2+3\cdot0=-2+2+0=0.$$
Damit sind die beiden Seiten orthogonal. Das Dreieck ist bei $A$ rechtwinklig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Skalarprodukt
- Berechnung: Komponenten paarweise multiplizieren und addieren
- Ergebnis: eine Zahl
- Orthogonalität: Ergebnis null
- Länge: Selbstprodukt und Quadratwurzel
- Winkel: Kosinusformel für Nichtnullvektoren
- Vorzeichen: spitz, recht oder stumpf
- Geometrie: Rechtwinkligkeit nachweisen