Mit Google fortfahren
Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du aus ihrem Skalarprodukt und ihren Längen. Für zwei Nichtnullvektoren liegt der berechnete Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was der Winkel zwischen Vektoren bedeutet
Verschiebe die beiden Vektorpfeile gedanklich so, dass sie denselben Anfangspunkt haben. Gesucht ist der kleinere Winkel zwischen ihren Richtungen, dessen Größe im Bereich von $0^\circ$ bis $180^\circ$ liegt.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Du multiplizierst die jeweils gleich positionierten Komponenten und addierst die Produkte.
Für $a=(a_1,a_2,a_3)^T$ und $b=(b_1,b_2,b_3)^T$ gilt:
$$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
Vektorlänge
Die Länge oder der Betrag eines Vektors $a=(a_1,a_2,a_3)^T$ ist
$$|a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
Im zweidimensionalen Raum lässt du die dritte Komponente weg.
Der Winkel ist nur für zwei Nichtnullvektoren über die Winkelformel bestimmbar. Beim Nullvektor wäre eine Vektorlänge im Nenner gleich null.
So rechnest du in vier Schritten
Für zwei Nichtnullvektoren $a$ und $b$ gilt:
$$\cos(\alpha)=\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}$$
Daraus folgt:
$$\alpha=\arccos\left(\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}\right)$$
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Berechne das Skalarprodukt $a\cdot b$.
- Berechne die Längen $|a|$ und $|b|$.
- Setze die drei Ergebnisse in die Winkelformel ein.
- Berechne den Arkuskosinus und prüfe, ob dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist.
Der Quotient in der Winkelformel liegt zwischen $-1$ und $1$. Kleine Rundungsabweichungen entstehen, wenn du Zwischenwerte zu früh kürzt. Rechne deshalb möglichst lange mit exakten Wurzeln.
Ein vollständiges Beispiel
Gegeben sind
$$a=(2,1,2)^T\qquad\text{und}\qquad b=(4,-1,1)^T.$$
1. Skalarprodukt berechnen
$$a\cdot b=2\cdot4+1\cdot(-1)+2\cdot1=9$$
2. Vektorlängen berechnen
$$|a|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt9=3$$
$$|b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$$
3. In die Formel einsetzen
$$\cos(\alpha)=\frac{9}{3\cdot3\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$
4. Winkel bestimmen
$$\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=45^\circ$$
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $45^\circ$ und ist damit spitz.
Prüfe das Ergebnis im Kontext: Ein positives Skalarprodukt passt hier zu einem spitzen Winkel.
Winkelart und Orthogonalität erkennen
Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät dir die Winkelart, ohne dass du den Winkel vollständig berechnen musst:
- $a\cdot b>0$: Der Winkel ist spitz, also kleiner als $90^\circ$.
- $a\cdot b=0$: Der Winkel ist recht, also $90^\circ$.
- $a\cdot b<0$: Der Winkel ist stumpf, also größer als $90^\circ$.
Orthogonalität
Zwei Nichtnullvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Ihre Richtungen stehen dann senkrecht aufeinander.
Für $c=(-1,1,3)^T$ und $d=(1,-2,1)^T$ gilt:
$$c\cdot d=(-1)\cdot1+1\cdot(-2)+3\cdot1=0$$
Da beide Vektoren Nichtnullvektoren sind und ihr Skalarprodukt null ist, beträgt ihr Winkel $90^\circ$. Die Vektoren sind orthogonal.
Beim Nullvektor ergibt das Skalarprodukt mit jedem Vektor ebenfalls null. Daraus darfst du aber keinen Winkel von $90^\circ$ folgern, weil die Winkelformel für den Nullvektor nicht definiert ist.
Jetzt rechnest du selbst
Gegeben sind die Vektoren $u=(1,2)^T$ und $v=(2,1)^T$.
Berechne das Skalarprodukt, beide Längen und anschließend den Winkel. Entscheide danach, ob der Winkel spitz, recht oder stumpf ist.
Lösung
Das Skalarprodukt lautet:
$$u\cdot v=1\cdot2+2\cdot1=4$$
Beide Vektoren haben die Länge
$$|u|=|v|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$$
Damit gilt:
$$\cos(\alpha)=\frac{4}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\frac45$$
und somit
$$\alpha=\arccos\left(\frac45\right)\approx36{,}87^\circ.$$
Der Winkel ist spitz. Das passt zum positiven Skalarprodukt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei zwei Nichtnullvektoren führt ein Skalarprodukt zu einem spitzen Winkel. Ist das Skalarprodukt , beträgt der Winkel $90^\circ$. Ein Skalarprodukt kennzeichnet einen stumpfen Winkel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Voraussetzungen
- zwei Nichtnullvektoren
- gemeinsamer Anfangspunkt gedacht
- Berechnung
- Skalarprodukt bestimmen
- Vektorlängen bestimmen
- Arkuskosinus anwenden
- Winkelart
- positiv: spitz
- null: recht und orthogonal
- negativ: stumpf
- Kontrolle
- Gradmaß prüfen
- Zwischenwerte nicht zu früh runden
- Voraussetzungen