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Vierfeldertafel: Erklärung, Aufgaben und Lösungen
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale so, dass du ihre vier möglichen Kombinationen, die Randsummen und bedingte Anteile sicher ablesen kannst. Du lernst, eine Tafel aufzubauen, fehlende Werte zu ergänzen und die richtige Bezugsgruppe zu wählen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigen die vier Felder?
Eine Vierfeldertafel beschreibt zwei Ereignisse oder Merkmale. Zu jedem Ereignis gehört ein Gegenereignis: Es tritt genau dann ein, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt.
Schnittmenge
Die Schnittmenge $A ∩ B$ umfasst alle Fälle, bei denen sowohl $A$ als auch $B$ zutreffen. Das Wort und ist dabei entscheidend.
Eine allgemeine Vierfeldertafel sieht so aus:
| $A$ | Gegenereignis zu $A$ | Summe | |
|---|---|---|---|
| $B$ | $A ∩ B$ | nicht $A$ und $B$ | $B$ |
| Gegenereignis zu $B$ | $A$ und nicht $B$ | weder $A$ noch $B$ | nicht $B$ |
| Summe | $A$ | nicht $A$ | Gesamt |
Die vier inneren Felder enthalten die vier möglichen Kombinationen. Die Felder am rechten und unteren Rand enthalten Summen.
In einer Klasse steht $J$ für „Junge“ und $B$ für „Test bestanden“.
- $J ∩ B$: Junge und Test bestanden
- nicht $J$ und $B$: Mädchen und Test bestanden
- $J$ und nicht $B$: Junge und Test nicht bestanden
- weder $J$ noch $B$: Mädchen und Test nicht bestanden
Wie ergänzt du fehlende Werte?
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Benenne beide Merkmale und ihre Gegenereignisse.
- Entscheide, welche Angabe in welches Feld oder an welchen Rand gehört.
- Trage alle gegebenen Werte ein.
- Ergänze fehlende Werte mit Randsumme minus bekanntem Feld.
- Prüfe die Gesamtsumme einmal über die Zeilen und einmal über die Spalten.
Zwei Klassen werden gefragt, ob sie Mathematik mögen. Gegeben sind:
- 9 Personen aus der 10b mögen Mathematik.
- Die 10b hat insgesamt 36 Personen.
- 12 Personen aus der 10a mögen Mathematik nicht.
- Insgesamt mögen 27 Personen Mathematik.
Zuerst fehlen die Personen aus der 10a, die Mathematik mögen:
$$27 - 9 = 18$$
Damit hat die 10a insgesamt:
$$18 + 12 = 30$$
In der 10b mögen folglich
$$36 - 9 = 27$$
Personen Mathematik nicht.
| 10a | 10b | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| mag Mathematik | 18 | 9 | 27 |
| mag Mathematik nicht | 12 | 27 | 39 |
| Gesamt | 30 | 36 | 66 |
Kontrolle über die Spalten: $30 + 36 = 66$.
Kontrolle über die Zeilen: $27 + 39 = 66$.
Ein inneres Feld darfst du nur von der Randsumme derselben Zeile oder Spalte abziehen.
Was unterscheidet absolute und relative Tafeln?
Absolute Häufigkeit
Eine absolute Häufigkeit ist eine Anzahl, zum Beispiel 12 Personen. Unten rechts steht die Gesamtzahl $G$.
Relative Häufigkeit
Eine relative Häufigkeit ist der Anteil an der Gesamtzahl. Du erhältst sie durch
$$relative\ Häufigkeit = absolute\ Häufigkeit / Gesamtzahl$$
Unten rechts steht $1$ oder $100\,\%$.
In einer Gruppe von 30 Personen haben 12 blonde Haare und blaue Augen. Der relative Anteil dieses inneren Feldes ist:
$$12/30 = 0{,}4 = 40\,\%$$
Die Zahl 12 und der Anteil 40 % beschreiben dieselbe Gruppe, aber in verschiedenen Darstellungen.
Rundest du Dezimalzahlen, können die gerundeten Werte zusammen knapp von $1$ oder $100\,\%$ abweichen. Rechne möglichst lange mit exakten Brüchen und runde erst am Ende einheitlich.
Welche Bezugsgruppe gehört in den Nenner?
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit oder ein bedingter Anteil betrachtet nur eine ausgewählte Teilgruppe. Diese Bedingung bestimmt den Nenner.
Für „Anteil von $A$ unter den Fällen mit $B$“ gilt bei einer Wahrscheinlichkeitstafel:
$$P(A\mid B)=P(A ∩ B)/P(B)$$
Das ist nur möglich, wenn $P(B)>0$ ist. Bei absoluten Häufigkeiten kannst du entsprechend die Anzahlen teilen:
$$Anteil\ von\ A\ unter\ B = H(A ∩ B)/H(B)$$
In einer Klasse gibt es 16 Jungen. 13 von ihnen bestehen den Test. Insgesamt bestehen 20 Personen.
Frage 1: Welcher Anteil der Jungen besteht?
Die Bezugsgruppe sind alle 16 Jungen:
$$13/16 = 0{,}8125 = 81{,}25\,\%$$
Frage 2: Welcher Anteil der Personen, die bestehen, sind Jungen?
Die Bezugsgruppe sind alle 20 Personen, die bestehen:
$$13/20 = 0{,}65 = 65\,\%$$
Der Zähler ist in beiden Rechnungen 13. Der Nenner ändert sich mit der Bezugsgruppe, deshalb entstehen unterschiedliche Ergebnisse.
Unterstreiche in einer Frage gedanklich die Formulierung „unter den …“. Die danach genannte Gruppe gehört in den Nenner.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Fehler 1: „und“ mit „oder“ verwechseln
Ein inneres Feld beschreibt zwei gleichzeitig zutreffende Merkmale. „Junge und bestanden“ ist eine Schnittmenge. Eine Aussage mit „oder“ kann mehrere Felder umfassen.
Fehler 2: Anzahl und Anteil vermischen
Die Zahl 12 ist eine absolute Häufigkeit. Erst mit einer Gesamtzahl, etwa $12/30$, wird daraus ein relativer Anteil.
Fehler 3: Die falsche Bezugsgruppe wählen
„Anteil der Jungen unter den Bestandenen“ und „Anteil der Bestandenen unter den Jungen“ vertauschen Zähler und Bezugsgruppe nicht beliebig: Beide Fragen haben denselben Schnittmengenwert, aber unterschiedliche Nenner.
Fehler 4: Nur in eine Richtung prüfen
Eine vollständig ausgefüllte Tafel muss über die Zeilen und über die Spalten dieselbe Gesamtsumme ergeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vierfeldertafel
- vier innere Felder: Kombinationen zweier Merkmale
- rechter und unterer Rand: Summen
- absolute Tafel: Anzahlen mit Gesamtzahl
- relative Tafel: Anteile mit Gesamtwert 1 oder 100 %
- fehlende Werte: addieren oder von einer Randsumme abziehen
- bedingter Anteil: Schnittmenge durch Bezugsgruppe teilen
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Aufgabe zuerst die beiden Merkmale, die Darstellungsart und die Bezugsgruppe klärst, kannst du die Tafel systematisch füllen und typische Statistikfehler vermeiden.