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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Formel und Aufgaben
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn eine Zusatzinformation bereits feststeht. Du betrachtest dann nicht mehr alle möglichen Fälle, sondern nur noch die Fälle, welche die Bedingung erfüllen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was verändert eine Bedingung?
Stell dir eine Klasse mit 30 Personen vor. Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, eine blonde Person auszuwählen. Ohne weitere Information betrachtest du alle 30 Personen.
Erfährst du jedoch, dass die ausgewählte Person weiblich ist, bleiben nur die 15 weiblichen Personen übrig. Diese eingeschränkte Gruppe ist deine neue Grundgesamtheit.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Schreibweise $P(A\mid B)$ bedeutet: Wie wahrscheinlich ist das Ereignis $A$, wenn bekannt ist, dass $B$ eingetreten ist? Links vom Strich steht das Gesuchte, rechts davon die Bedingung.
Typische Signalwörter sind „unter der Bedingung, dass“ und „wenn bekannt ist, dass“.
Lies $P(A\mid B)$ so: „Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$.“ Die Bedingung rechts vom Strich legt die neue Grundgesamtheit fest.
Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit?
Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
Dabei muss $P(B)>0$ gelten. Eine Bedingung mit Wahrscheinlichkeit null kann nicht als neue Grundgesamtheit verwendet werden.
Das Zeichen $A\cap B$ bezeichnet die Schnittmenge: Beide Ereignisse treten gemeinsam ein.
Gehe in vier Schritten vor:
- Bestimme die Bedingung $B$.
- Bestimme innerhalb von $B$ die Fälle, in denen auch $A$ gilt.
- Bilde den Anteil der gemeinsamen Fälle an allen Bedingungsfällen.
- Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen $0\,\%$ und $100\,\%$ liegt.
In einer Klasse sind 30 Personen. 15 sind weiblich. Von diesen 15 Personen sind 6 blond.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person blond ist, wenn bekannt ist, dass sie weiblich ist.
- $A$: „Die Person ist blond.“
- $B$: „Die Person ist weiblich.“
- Gemeinsame Fälle: 6 Personen sind blond und weiblich.
- Bedingungsfälle: 15 Personen sind weiblich.
Daher gilt:
$$P(A\mid B)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0{,}4=40\,\%$$
Die Antwort im Sachzusammenhang lautet: Unter den weiblichen Personen sind $40\,\%$ blond.
Wie hilft eine Vierfeldertafel?
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Ereignisse, ihre Gegenereignisse und die zugehörigen Summen. Sie macht besonders deutlich, welcher Zeilen- oder Spaltensumme die Bedingung entspricht.
Für die Schulklasse sieht sie so aus:
| blond | nicht blond | insgesamt | |
|---|---|---|---|
| weiblich | 6 | 9 | 15 |
| männlich | 4 | 11 | 15 |
| insgesamt | 10 | 20 | 30 |
Für „blond, wenn weiblich“ verwendest du:
- das gemeinsame Feld „blond und weiblich“: 6;
- die Summe der Bedingungszeile „weiblich“: 15.
Die Rechnung lautet deshalb $6:15$.
Bei einer Vierfeldertafel teilst du das gemeinsame Feld durch die Summe der Zeile oder Spalte, welche die Bedingung beschreibt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $P(A\mid B)$ steht das links vom Strich. Das Ereignis rechts vom Strich bildet die . Im Zähler steht die $A\cap B$, im Nenner die Wahrscheinlichkeit von .
Warum darfst du die Richtung nicht vertauschen?
$P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ verwenden zwar dieselbe Schnittmenge, aber unterschiedliche Grundgesamtheiten:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
In der Klassentafel bedeutet das:
- Bei „blond, wenn weiblich“ ist die Gruppe der 15 weiblichen Personen die Grundgesamtheit. Daher gilt $P(\text{blond}\mid\text{weiblich})=6:15=40\,\%$.
- Bei „weiblich, wenn blond“ ist dagegen die Gruppe der 10 blonden Personen die Grundgesamtheit. Daher gilt $P(\text{weiblich}\mid\text{blond})=6:10=60\,\%$.
Die Zusatzinformation entscheidet über den Nenner. Im Beispiel führen dieselben sechs gemeinsamen Fälle deshalb zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Die Bayes-Formel verbindet beide Richtungen:
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$$
Sie ist besonders nützlich, wenn ein beobachtetes Ergebnis $B$ bekannt ist und du die Wahrscheinlichkeit einer möglichen Ursache $A$ suchst.
Wie prüfst du stochastische Unabhängigkeit?
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert.
Das Produktkriterium lautet:
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
Sind $P(A)>0$ und $P(B)>0$, kannst du gleichwertig prüfen, ob $P(A\mid B)=P(A)$ gilt.
An einer Schule besuchen $30\,\%$ einen Förderkurs und $60\,\%$ eine AG. $15\,\%$ besuchen beides.
Gegeben ist:
$$P(F\cap AG)=0{,}15$$
Bei Unabhängigkeit müsste gelten:
$$P(F)\cdot P(AG)=0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18$$
Da $0{,}15\ne0{,}18$ gilt, sind die beiden Ereignisse in diesem Datensatz nicht unabhängig.
Unabhängigkeit ist nicht dasselbe wie Unvereinbarkeit. Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten, ihre Schnittmenge ist also leer. Unabhängige Ereignisse dürfen dagegen durchaus gemeinsam eintreten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Leserichtung
- Gesuchtes links, Bedingung rechts
- Berechnung
- Schnittmenge durch Bedingungswahrscheinlichkeit
- Darstellung
- Mengen, Vierfeldertafel oder Baumdiagramm
- Richtungswechsel
- Bayes-Formel
- Unabhängigkeit
- Produktkriterium prüfen
- Abgrenzung
- Unabhängigkeit ist nicht Unvereinbarkeit
- Leserichtung