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Bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet Fragen wie: Wie wahrscheinlich ist ein Ereignis, wenn ich schon eine Zusatzinformation habe? Genau dieses "wenn schon bekannt ist" verändert oft die Rechnung.
Hier lernst du die Schreibweise \(P(A|B)\), die Formel und den sicheren Umgang mit Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen.
- Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeit erklären.
- Ich kann $P(A|B)$ richtig lesen.
- Ich kann die Formel $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ anwenden.
- Ich kann mit Vierfeldertafeln rechnen.
- Ich kann Bedingung und gesuchtes Ereignis unterscheiden.
Was bedeutet bedingt?
Eine Wahrscheinlichkeit ist bedingt, wenn du nur noch Fälle betrachtest, in denen eine bestimmte Bedingung erfüllt ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) bedeutet: Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung, dass \(B\) bereits eingetreten ist.
In einer Klasse sind 30 Personen. 12 lernen Französisch. Von diesen 12 spielen 5 ein Instrument.
Gesucht: Wie wahrscheinlich spielt jemand ein Instrument, wenn die Person Französisch lernt?
Die neue Grundmenge sind nur die 12 Französisch-Lernenden.
Also: \(\frac5{12}\).
Nach dem senkrechten Strich steht die Bedingung. Sie bestimmt die neue Grundmenge.
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Die Formel
Die Formel teilt die gemeinsamen Fälle durch die Fälle der Bedingung.
Formel
Für \(P(B)>0\) gilt:
In einer Umfrage gilt:
\(P(B)=0{,}4\)
\(P(A\cap B)=0{,}1\)
Dann:
\(P(A|B)=\frac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25=25\,\%\).
Der Nenner ist immer die Bedingung, nicht automatisch die Gesamtzahl.
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Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale mit ja/nein gegenüber. Sie hilft besonders bei bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel zeigt Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten für zwei Merkmale und ihre Gegenereignisse in vier inneren Feldern.
100 Personen werden befragt.
40 treiben Sport. Von diesen 40 ernähren sich 18 vegetarisch.
Gesucht: \(P(\text{vegetarisch}|\text{Sport})\).
Bedingung Sport: 40 Personen.
Gemeinsam vegetarisch und Sport: 18 Personen.
\(P=\frac{18}{40}=0{,}45=45\,\%\).
Markiere in der Tabelle zuerst die Bedingung. Dann wählst du aus dieser Gruppe den passenden Anteil.
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Baumdiagramm
Im Baumdiagramm steht bedingte Wahrscheinlichkeit oft auf der zweiten Stufe.
Eine Urne enthält rote und blaue Kugeln. Nach der ersten Ziehung ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Ziehung.
Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Ziehung ist dann bedingt durch das Ergebnis der ersten Ziehung.
"Ohne Zurücklegen" ist ein klassischer Hinweis auf bedingte Wahrscheinlichkeiten, weil sich die Ausgangslage verändert.
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Prüfungsmodus: Bedingung nicht vertauschen
Die häufigste Falle ist die Verwechslung von \(P(A|B)\) und \(P(B|A)\).
80 Prozent der Kranken haben einen positiven Test. Das ist \(P(\text{positiv}|\text{krank})\).
Das ist nicht dasselbe wie: 80 Prozent der positiv Getesteten sind krank.
Das wäre \(P(\text{krank}|\text{positiv})\).
Formuliere die Aufgabe in Worten: "unter der Bedingung, dass ..." Dann setzt du die Bedingung in den Nenner.
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Bedingte Wahrscheinlichkeit fragt nach einer Wahrscheinlichkeit innerhalb einer eingeschränkten Gruppe. \(P(A|B)\) bedeutet: A unter der Bedingung B.
Die Formel lautet \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\). Der wichtigste Schritt ist, die Bedingung richtig zu erkennen.