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Schnittmenge und Vereinigungsmenge einfach erklärt
Die Schnittmenge enthält nur die gemeinsamen Elemente zweier Mengen. Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen liegen. Das „oder“ ist dabei einschließend: Elemente aus beiden Mengen gehören ebenfalls dazu.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du Schnitt und Vereinigung?
Stell dir zwei Gruppen vor. Die Frage entscheidet, welche Mengenoperation du brauchst:
| Formulierung | Operation | Bedeutung |
|---|---|---|
| „in beiden“, „und zugleich“ | Schnittmenge $A\cap B$ | nur gemeinsame Elemente |
| „in A oder B oder in beiden“ | Vereinigungsmenge $A\cup B$ | alle Elemente aus mindestens einer Menge |
Schnittmenge
$A\cap B$ besteht aus allen Elementen, die zugleich zu $A$ und zu $B$ gehören.
Vereinigungsmenge
$A\cup B$ besteht aus allen Elementen, die zu $A$, zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören.
$\cap$ bedeutet mathematisch und. $\cup$ bedeutet das einschließende oder.
Wie bildest du die Schnittmenge?
Prüfe jedes Element mit zwei Fragen: Liegt es in $A$? Liegt es auch in $B$? Nur bei zweimal „ja“ kommt es in $A\cap B$.
Gegeben sind
$A=\{1,2,4,6\}$ und $B=\{2,3,4,5\}$.
Die Elemente $2$ und $4$ liegen in beiden Mengen. Deshalb gilt:
$$A\cap B=\{2,4\}$$
$1$ und $6$ liegen nur in $A$; $3$ und $5$ nur in $B$. Sie gehören nicht zur Schnittmenge.
Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie disjunkt. Dann ist ihre Schnittmenge die leere Menge $\emptyset$.
Wie bildest du die Vereinigungsmenge?
Bei der Vereinigung sammelst du alle Elemente aus beiden Mengen. Danach notierst du jedes Element genau einmal. Reihenfolge und Mehrfachnennung spielen bei Mengen keine Rolle.
Gegeben sind wieder
$A=\{1,2,4,6\}$ und $B=\{2,3,4,5\}$.
Sammle zunächst die Elemente aus $A$ und ergänze die noch fehlenden Elemente aus $B$. Die gemeinsamen Elemente $2$ und $4$ werden nicht doppelt notiert:
$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$$
Der entscheidende Gedanke: Ein Element muss nur in mindestens einer der beiden Mengen liegen.
Die Schreibweisen $\{1,2,3\}$ und $\{3,2,1\}$ bezeichnen dieselbe Menge. Auch $\{1,1,2,3\}$ enthält als Menge dieselben Elemente, weil Wiederholungen nicht gezählt werden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Schnittmenge muss ein Element in Mengen liegen. Bei der Vereinigungsmenge genügt die Zugehörigkeit zu Menge. Gemeinsame Elemente werden in der Vereinigung notiert.
Welche Sonderfälle und Anwendungen gibt es?
Die Grundideen bleiben auch in besonderen Fällen gleich:
- Ist $A$ eine Teilmenge von $B$, dann liegen alle Elemente aus $A$ bereits in $B$. Daher gilt $A\cup B=B$.
- Für gleiche Mengen gilt $A\cap A=A$ und $A\cup A=A$.
- Für die leere Menge gilt $A\cup\emptyset=A$ und $A\cap\emptyset=\emptyset$.
- Bei disjunkten Mengen ist $A\cap B=\emptyset$; ihre Vereinigung enthält trotzdem alle Elemente aus beiden Mengen.
Anwendung bei einem Zufallsversuch
In einem Behälter liegen zehn gleich wahrscheinliche Kugeln mit den Nummern $0$ bis $9$. Die roten Kugeln tragen die Nummern $0$, $2$, $3$ und $8$.
- $E=\{0,1,2,3,4,5\}$ bedeutet „Nummer höchstens 5“.
- $F=\{0,2,3,8\}$ bedeutet „rote Kugel“.
„Rot und höchstens 5“ ist der Schnitt:
$$E\cap F=\{0,2,3\}$$
Drei von zehn gleich wahrscheinlichen Ergebnissen sind günstig. Also ist $P(E\cap F)=\frac{3}{10}$.
„Rot oder höchstens 5 oder beides“ ist die Vereinigung:
$$E\cup F=\{0,1,2,3,4,5,8\}$$
Sieben von zehn Ergebnissen sind günstig. Also ist $P(E\cup F)=\frac{7}{10}$.
Eine Wahrscheinlichkeit darfst du hier durch Abzählen bestimmen, weil ausdrücklich zehn gleich wahrscheinliche Ergebnisse vorliegen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schnittmenge und Vereinigungsmenge
- Schnittmenge $A\cap B$
- in beiden Mengen
- gemeinsamer Bereich
- Vereinigungsmenge $A\cup B$
- in mindestens einer Menge
- gemeinsame Elemente nur einmal
- Entscheidung über Sprache
- „und“ bedeutet Schnitt
- einschließendes „oder“ bedeutet Vereinigung
- Anwendung auf Ereignisse
- Ergebnismenge zuerst bilden
- Wahrscheinlichkeit danach bestimmen
- Schnittmenge $A\cap B$
Abschluss-Check
Kannst du bei einer neuen Aufgabe zuerst die Wörter „und“ oder „oder“ erkennen, dann die passende Operation wählen und schließlich jedes Element auf seine Zugehörigkeit prüfen? Dann beherrschst du den Kern von Schnitt- und Vereinigungsmenge.