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Mengenlehre: Mengen verstehen und verknüpfen
Eine Menge fasst eindeutig bestimmte Objekte zusammen. Diese Objekte heißen Elemente. Du kannst Mengen aufzählen, durch Eigenschaften beschreiben und mit Schnitt, Vereinigung oder Differenz verknüpfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Mengen bilden und beschreiben
Stell dir vor, du sortierst Zahlen nach einer klaren Regel. Die Menge
$$A=\{2,3,4,5,6,7\}$$
enthält genau die aufgezählten Zahlen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und ein Element wird nicht mehrfach gezählt. Deshalb beschreiben $\{2,3,4\}$ und $\{4,2,3,3\}$ dieselbe Menge.
Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung eindeutig bestimmter, voneinander unterscheidbarer Objekte. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Eine Menge lässt sich auf zwei Arten notieren:
- aufzählend: $A=\{2,3,4,5,6,7\}$
- beschreibend: $A=\{x\mid x\text{ ist ganz, größer als 1 und kleiner als 8}\}$
Der senkrechte Strich $\mid$ bedeutet „für die gilt“. Bei einer beschreibenden Menge muss die Eigenschaft eindeutig entscheiden, ob ein Objekt dazugehört.
Gesucht ist die Menge $G$ der geraden Zahlen aus $A$.
- Prüfe die Zahlen $2$ bis $7$ auf die Eigenschaft „gerade“.
- Behalte $2$, $4$ und $6$.
- Notiere $G=\{2,4,6\}$.
Beschreibend lautet dieselbe Menge: $G=\{x\in A\mid x\text{ ist gerade}\}$.
Elemente, leere Menge und Mächtigkeit
Mit $\in$ prüfst du, ob ein einzelnes Objekt Element einer Menge ist. Für $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ gilt $3\in A$, aber $9\notin A$.
Leere Menge
Die leere Menge $\varnothing$ enthält kein Element. Sie ist nicht dasselbe wie die Zahl $0$ und auch nicht dasselbe wie die Menge $\{0\}$.
Die Mächtigkeit $|A|$ gibt bei einer endlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente an. Für $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ gilt $|A|=6$.
$\varnothing$ hat Mächtigkeit 0. Dagegen hat $\{0\}$ die Mächtigkeit 1, weil die Zahl 0 ein Element dieser Menge ist.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $M=\{0,2,4\}$ gilt: $0$ ist ein von $M$, also $0\in M$. Die Menge $M$ hat die Mächtigkeit . Sie ist daher nicht die .
Gleichheit und Teilmengen prüfen
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Reihenfolge und Wiederholungen in einer Aufzählung ändern die Menge nicht.
Teilmenge
$B$ ist eine Teilmenge von $A$, geschrieben $B\subseteq A$, wenn jedes Element von $B$ auch Element von $A$ ist.
Für $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ und $G=\{2,4,6\}$ gilt $G\subseteq A$. Außerdem ist jede Menge Teilmenge ihrer selbst, also $A\subseteq A$. Auch $\varnothing\subseteq A$ gilt.
Die Schreibweise für echte Teilmengen ist nicht überall einheitlich. Mit $B\subseteq A$ meinst du sicher „Teilmenge, möglicherweise gleich“. Soll $B$ echt kleiner sein, ergänze eindeutig $B\subseteq A$ und $B\ne A$.
Prüfe $B=\{2,4\}$ und $C=\{2,8\}$ im Vergleich zu $A$.
- Bei $B$ liegen beide Elemente in $A$. Daher gilt $B\subseteq A$.
- Bei $C$ liegt zwar $2$ in $A$, aber $8\notin A$. Daher ist $C$ keine Teilmenge von $A$.
Für eine Teilmengenprüfung reicht ein einziges Gegenbeispiel, um die Aussage zu widerlegen.
Mengen verknüpfen
Mit Mengenoperationen beantwortest du drei verschiedene Fragen: Was liegt in beiden Mengen? Was liegt in mindestens einer? Was bleibt von der ersten Menge übrig?
Seien $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ und $C=\{5,6,7,8,9\}$.
Schnittmenge
Die Schnittmenge $A\cap C$ enthält genau die Elemente, die in $A$ und in $C$ liegen.
Hier ist $A\cap C=\{5,6,7\}$.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigung $A\cup C$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $C$ oder in beiden Mengen liegen. Doppelte Elemente werden nur einmal notiert.
Hier ist $A\cup C=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
Differenzmenge
Die Differenz $A\setminus C$ enthält die Elemente, die in $A$, aber nicht in $C$ liegen. Die Reihenfolge der Mengen ist entscheidend.
Hier ist $A\setminus C=\{2,3,4\}$, aber $C\setminus A=\{8,9\}$.
Bestimme für $P=\{1,2,3,4\}$ und $Q=\{3,4,5\}$ alle drei Operationen.
- Gemeinsam sind 3 und 4: $P\cap Q=\{3,4\}$.
- In mindestens einer Menge liegen 1 bis 5: $P\cup Q=\{1,2,3,4,5\}$.
- Nur in $P$ liegen 1 und 2: $P\setminus Q=\{1,2\}$.
Die Ergebnisse passen zu den Leitwörtern und, oder und aber nicht.
Potenzmenge und weitere Vertiefung
Manchmal interessieren nicht die Elemente einer Menge, sondern alle Möglichkeiten, daraus Teilmengen zu bilden.
Potenzmenge
Die Potenzmenge $\mathcal P(M)$ ist die Menge aller Teilmengen von $M$. Sie enthält immer $\varnothing$ und $M$ selbst.
Für $M=\{a,b\}$ gibt es vier Teilmengen:
$$\mathcal P(M)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$
Jedes der zwei Elemente kann bei einer Teilmenge entweder gewählt oder nicht gewählt werden. Das ergibt $2\cdot2=2^2=4$ Möglichkeiten.
Für eine endliche Menge mit $n$ Elementen gilt:
$$|\mathcal P(M)|=2^n$$
Hat $M$ drei Elemente, besitzt die Potenzmenge also $2^3=8$ Elemente.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mengenlehre
- Beschreiben: aufzählen oder Eigenschaft angeben
- Vergleichen: Zugehörigkeit, Gleichheit und Teilmenge prüfen
- Verknüpfen: Schnitt, Vereinigung und Differenz bilden
- Zählen: Mächtigkeit und Potenzmenge bestimmen