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Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Information über das eine Ereignis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Rechnerisch prüfst du, ob die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit?
Betrachte zwei Ereignisse $A$ und $B$. Erfährst du, dass $B$ eingetreten ist, kann sich deine Einschätzung von $A$ ändern. Bleibt die Wahrscheinlichkeit von $A$ dagegen gleich, sind die Ereignisse unabhängig.
Stochastische Unabhängigkeit
Die Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn
$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$
Dabei bezeichnet $A \cap B$ das gemeinsame Ereignis: $A$ und $B$ treten beide ein.
Die Gleichung ist die allgemeine Definition. Sie gilt auch dann als Prüfkriterium, wenn eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit null hat.
Unabhängigkeit bedeutet: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist genau so groß, wie es das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten erwarten lässt.
Wie prüfst du die Produktregel?
Gehe immer in vier Schritten vor:
- Definiere die Ereignisse $A$ und $B$ eindeutig.
- Bestimme $P(A)$, $P(B)$ und $P(A \cap B)$.
- Berechne $P(A)\cdot P(B)$.
- Vergleiche das Produkt mit $P(A \cap B)$.
Sind beide Werte gleich, sind die Ereignisse unabhängig. Sind sie verschieden, sind sie abhängig.
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen.
- $A$: „Die Augenzahl ist ungerade“, also $A=\{1,3,5\}$.
- $B$: „Die Augenzahl ist kleiner als 5“, also $B=\{1,2,3,4\}$.
Damit gilt:
$$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
und
$$P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$
Für $A \cap B$ muss die Zahl ungerade und kleiner als 5 sein. Das trifft auf 1 und 3 zu:
$$P(A \cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
Nun folgt die Prüfung:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$
Das Produkt stimmt mit $P(A \cap B)$ überein. Deshalb sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig.
Was hat die bedingte Wahrscheinlichkeit damit zu tun?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\mid B)$ beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist $A$, wenn bereits bekannt ist, dass $B$ eingetreten ist?
Für $P(B)>0$ gilt:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$
Sind $A$ und $B$ unabhängig, kannst du die Produktregel einsetzen:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A).$$
Die Zusatzinformation $B$ verändert die Wahrscheinlichkeit von $A$ also nicht. Entsprechend gilt bei $P(A)>0$ auch $P(B\mid A)=P(B)$.
Bei positiven Nennern kannst du Unabhängigkeit auf zwei gleichwertige Arten prüfen:
- $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$
- $P(A\mid B)=P(A)$
Wie erkennst du Abhängigkeit in einem Experiment?
In einer Urne liegen sechs rote und vier schwarze Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
- $A$: „Im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen.“
- $B$: „Im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen.“
Für den ersten Zug gilt $P(A)=\frac{4}{10}$. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit einer roten Kugel im zweiten Zug berücksichtigt beide möglichen Farben im ersten Zug:
$$P(B)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{3}{5}.$$
Wenn im ersten Zug Schwarz gezogen wurde, liegen danach noch sechs rote Kugeln unter neun Kugeln in der Urne. Deshalb gilt:
$$P(B\mid A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$
Da $\frac{2}{3}\neq\frac{3}{5}$ ist, verändert die Information über den ersten Zug die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug. Die Ereignisse sind abhängig.
Beim Ziehen mit Zurücklegen wird die ursprüngliche Zusammensetzung wiederhergestellt. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben von Zug zu Zug gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung und damit gewöhnlich die späteren Wahrscheinlichkeiten.
Welche Verwechslungen solltest du vermeiden?
Unabhängigkeit ist nicht Unvereinbarkeit
Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten. Dann gilt $A \cap B=\varnothing$ und damit $P(A \cap B)=0$.
Haben beide unvereinbaren Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit, ist ihr Produkt $P(A)P(B)>0$. Die Produktregel ist dann nicht erfüllt: Die Ereignisse sind abhängig. Nur wenn mindestens eines der Ereignisse Wahrscheinlichkeit null hat, können unvereinbare Ereignisse zugleich unabhängig sein.
Abhängigkeit beweist keine Ursache
Stochastische Abhängigkeit beschreibt einen mathematischen Zusammenhang. Sie beweist nicht, dass ein Ereignis das andere verursacht. Weitere Einflüsse können beide Ereignisse betreffen.
Vertiefung: Drei Ereignisse
Bei drei Ereignissen reicht es nicht, nur jedes Paar zu prüfen. Für vollständige Unabhängigkeit müssen die Produktregeln für alle Paare gelten. Zusätzlich muss gelten:
$$P(A \cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C).$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Stochastische Unabhängigkeit
- Bedeutung: Eine Zusatzinformation verändert keine Wahrscheinlichkeit
- Produktprüfung: Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt vergleichen
- Bedingte Prüfung: bedingte und unbedingte Wahrscheinlichkeit vergleichen
- Abhängigkeit: Ungleichheit beim gewählten Prüfkriterium
- Fehlerquelle: Schnittmenge und Vereinigungsmenge unterscheiden
- Abgrenzung: Unvereinbarkeit ist nicht Unabhängigkeit
- Interpretation: Abhängigkeit ist kein Kausalitätsbeweis
Abschluss-Check
Du kannst Unabhängigkeit nun systematisch prüfen: Ereignisse festlegen, Wahrscheinlichkeiten bestimmen, die passende Gleichheit testen und das Ergebnis ohne vorschnelle Kausalaussage deuten.