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Der Satz von Bayes hilft, Wahrscheinlichkeiten umzudrehen. Das ist wichtig, wenn ein Test positiv ist und du wissen willst, wie wahrscheinlich die Ursache wirklich ist.
- Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeiten erklären.
- Ich kann den Satz von Bayes anwenden.
- Ich kann Baumdiagramm und Vierfeldertafel nutzen.
- Ich erkenne den Einfluss von Grundwahrscheinlichkeiten.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit fragt: Wie wahrscheinlich ist A, wenn B schon bekannt ist? Das ist nicht dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit von B, wenn A bekannt ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
\(P(A|B)\) bedeutet: Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.
\(P(positiv|krank)\) kann hoch sein. Trotzdem kann \(P(krank|positiv)\) kleiner sein, wenn die Krankheit selten ist.
Die Richtung der Bedingung ist entscheidend.
Die Bayes-Formel
Bayes dreht die Bedingung um. Dafür brauchst du die Trefferwahrscheinlichkeit, die Grundwahrscheinlichkeit und die Gesamtwahrscheinlichkeit des beobachteten Ereignisses.
Satz von Bayes
Der Satz von Bayes lautet: \(P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}\).
1 Prozent sind krank. Ein Test erkennt Kranke zu 90 Prozent. Bei Gesunden ist er zu 5 Prozent falsch positiv.
Von 10000 Personen sind 100 krank: 90 positiv. Von 9900 Gesunden sind 495 falsch positiv.
Positive Tests insgesamt: 585.
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Prüfungsmodus
Baumdiagramme machen Bayes-Aufgaben übersichtlich. Rechne zuerst die Pfadwahrscheinlichkeiten und teile dann den passenden Pfad durch alle passenden Pfade.
Wenn nach krank und positiv gefragt ist, ist das ein einzelner Pfad. Wenn nach positiv gefragt ist, musst du krank und positiv plus gesund und positiv nehmen.
Gesucht nach Ursache bei beobachtetem Ergebnis? Dann ist Bayes oft der richtige Weg.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Bayes dreht bedingte Wahrscheinlichkeiten um. Besonders bei Tests zeigt er, warum Grundwahrscheinlichkeiten und falsch positive Fälle wichtig sind.