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Satz von Bayes einfach erklärt und angewendet
Der Satz von Bayes berechnet eine Wahrscheinlichkeit in der umgekehrten Bedingungsrichtung. Kennst du zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei einer kranken Person, kannst du damit die Wahrscheinlichkeit für eine Krankheit nach einem positiven Test bestimmen. Entscheidend sind dabei auch die Basisrate und die Gesamtwahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Richtung der Bedingung richtig lesen
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet nur die Fälle, in denen die Bedingung bereits erfüllt ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
$P(A\mid B)$ bedeutet: Wie wahrscheinlich ist $A$, wenn $B$ eingetreten ist? Das Ereignis hinter dem senkrechten Strich ist die Bedingung.
Bei einem medizinischen Test sind diese beiden Fragen verschieden:
- $P(\text{positiv}\mid\text{krank})$: Wie oft ist der Test bei kranken Personen positiv?
- $P(\text{krank}\mid\text{positiv})$: Wie viele der positiv getesteten Personen sind tatsächlich krank?
Die zweite Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht allein aus der ersten ablesen.
Lies $P(A\mid B)$ von rechts nach links: Unter der Bedingung $B$ interessiert mich $A$. Vertauschst du $A$ und $B$, beantwortest du eine andere Frage.
So entsteht die Bayes-Formel
Für Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ gilt:
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$$
Die Bedingung $P(B)>0$ ist nötig, weil nicht durch null geteilt werden darf. Außerdem muss $P(A)>0$ gelten, damit $P(B\mid A)$ definiert ist.
Die Formel folgt aus zwei Blickrichtungen auf dieselbe Schnittmenge $A\cap B$:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
und
$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$$
Aus der zweiten Gleichung folgt $P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)$. Setzt du dies in die erste Gleichung ein, erhältst du die Bayes-Formel.
Ein Test fällt bei 2 % aller getesteten Personen positiv aus. 0,5 % der Personen sind infiziert, und bei Infizierten ist der Test zu 99 % positiv.
Gesucht ist $P(I\mid T)$, also die Wahrscheinlichkeit einer Infektion $I$ nach einem positiven Test $T$:
$$P(I\mid T)=\frac{P(T\mid I)P(I)}{P(T)}$$
$$P(I\mid T)=\frac{0{,}99\cdot0{,}005}{0{,}02}=0{,}2475.$$
Eine positiv getestete Person ist nach diesen Angaben mit 24,75 %, gerundet etwa 25 %, tatsächlich infiziert. Die 99 % beschreiben dagegen $P(T\mid I)$ und damit die andere Bedingungsrichtung.
So berechnest du einen fehlenden Nenner
In vielen Aufgaben ist $P(B)$ nicht direkt angegeben. Dann zerlegst du alle möglichen Fälle, in denen $B$ eintreten kann. Für $A$ und das Gegenereignis $A^{\mathrm c}$ gilt:
$$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{\mathrm c})P(A^{\mathrm c}).$$
Das ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Da $P(A^{\mathrm c})=1-P(A)$ gilt, erhältst du die häufig verwendete Bayes-Form:
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{\mathrm c})P(A^{\mathrm c})}.$$
Im Nenner stehen alle Wege zu $B$. Im Zähler steht nur der Weg, der zugleich zu $A$ und $B$ führt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $P(A\mid B)$ ist $B$ die . Fehlt $P(B)$, addierst du die Wahrscheinlichkeiten Wege zu $B$. Das Gegenereignis von $A$ hat die Wahrscheinlichkeit .
Vollständiges Beispiel mit zwei Urnen
Urne $A$ enthält sieben rote und drei weiße Kugeln. Urne $B$ enthält eine rote und neun weiße Kugeln. Beide Urnen werden mit Wahrscheinlichkeit $\frac12$ gewählt. Eine gezogene Kugel ist rot. Wie wahrscheinlich stammt sie aus Urne $A$?
1. Ereignisse und Richtung festlegen
Gesucht ist $P(A\mid R)$: die Wahrscheinlichkeit für Urne $A$ unter der Bedingung, dass die Kugel rot ist.
Gegeben sind:
$$P(A)=P(B)=\frac12,\qquad P(R\mid A)=\frac7{10},\qquad P(R\mid B)=\frac1{10}.$$
2. Gesamtwahrscheinlichkeit für Rot berechnen
Eine rote Kugel kann aus beiden Urnen stammen:
$$P(R)=\frac7{10}\cdot\frac12+\frac1{10}\cdot\frac12=\frac25.$$
3. Bayes anwenden
$$P(A\mid R)=\frac{P(R\mid A)P(A)}{P(R)}$$
$$P(A\mid R)=\frac{\frac7{10}\cdot\frac12}{\frac25}=\frac78=87{,}5\,\%.$$
Du kannst das Ergebnis mit natürlichen Häufigkeiten prüfen: Denk dir 20 Ziehungen mit Zurücklegen. Im Mittel wird jede Urne zehnmal gewählt. Aus Urne $A$ kommen dabei sieben rote Kugeln, aus Urne $B$ eine rote Kugel. Von insgesamt acht roten Kugeln stammen also sieben aus Urne $A$: $\frac78$.
Warum die Basisrate bei Tests zählt
Die Basisrate ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit $P(A)$ vor der neuen Beobachtung. Bei Krankheiten heißt sie häufig Prävalenz. Eine hohe Testempfindlichkeit allein beantwortet nicht, wie wahrscheinlich eine Krankheit nach einem positiven Ergebnis ist.
Betrachte ein Screening mit diesen Werten:
- 20 von 100.000 Personen sind krank: $P(K)=0{,}0002$.
- Bei Kranken ist der Test zu 95 % positiv: $P(T\mid K)=0{,}95$.
- Bei Gesunden ist der Test zu 1 % falsch positiv: $P(T\mid K^{\mathrm c})=0{,}01$.
Mit Bayes folgt:
$$P(K\mid T)=\frac{0{,}95\cdot0{,}0002}{0{,}95\cdot0{,}0002+0{,}01\cdot0{,}9998}\approx0{,}0186.$$
Eine positiv getestete Person ist unter diesen Annahmen also nur mit ungefähr 1,86 % Wahrscheinlichkeit krank.
Mit Häufigkeiten verstehen
Unter 100.000 Personen sind 20 krank. Davon werden 19 positiv getestet. Von 99.980 gesunden Personen erhalten ungefähr 1.000 ein falsch positives Ergebnis. Unter etwa 1.019 positiven Ergebnissen sind damit nur 19 tatsächlich Erkrankte.
Ein positives Ergebnis beweist weder eine Krankheit noch eine Ursache. Der berechnete Wert gilt nur für die angegebenen Basisraten und Testwahrscheinlichkeiten.
Den Rechenweg selbst anwenden
5 % einer Gruppe haben Alkohol konsumiert. Ein Test ist bei diesen Personen zu 99,9 % positiv. Bei Personen ohne Alkoholkonsum liefert er in 3 % der Fälle trotzdem ein positives Ergebnis. Wie wahrscheinlich hat eine positiv getestete Person tatsächlich Alkohol konsumiert?
Setze $A$ für Alkoholkonsum und $T$ für einen positiven Test. Dann gilt:
$$P(A)=0{,}05,\qquad P(A^{\mathrm c})=0{,}95,$$
$$P(T\mid A)=0{,}999,\qquad P(T\mid A^{\mathrm c})=0{,}03.$$
1. Positiven Test insgesamt berechnen
$$P(T)=0{,}999\cdot0{,}05+0{,}03\cdot0{,}95=0{,}07845.$$
2. Bedingungsrichtung umkehren
$$P(A\mid T)=\frac{0{,}999\cdot0{,}05}{0{,}07845}\approx0{,}6367.$$
Nach diesen Angaben beträgt die Wahrscheinlichkeit also ungefähr 63,67 %.
Prüfe Ergebnisse immer in drei Schritten:
- Liegt der Wert zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen 0 % und 100 %?
- Passt die Bedingungsrichtung zur Frage?
- Wurde ein fehlendes $P(B)$ aus allen möglichen Wegen berechnet?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Satz von Bayes
- Richtung lesen: $P(A\mid B)$ ist $A$ unter der Bedingung $B$
- Zähler: gemeinsamer Weg über $P(B\mid A)P(A)$
- Nenner: Gesamtwahrscheinlichkeit $P(B)$
- Fehlender Nenner: alle Wege zu $B$ addieren
- Basisrate: beeinflusst die umgekehrte Wahrscheinlichkeit
- Kontrolle: Richtung, Wertebereich und Kontext prüfen