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Zahlenhäuser: Zahlen systematisch zerlegen
In einem Zahlenhaus steht die Dachzahl für das Ganze. In jede Etage kommen zwei Teile, deren Summe genau die Dachzahl ergibt. Mit einer festen Reihenfolge findest du alle Zerlegungen, ohne eine zu vergessen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt ein Zahlenhaus?
Stell dir ein Haus mit einem Dach und mehreren Etagen vor. Im Dach steht zum Beispiel die Zahl 7. Dann muss in jeder Etage gelten: erste Zahl + zweite Zahl = 7.
Zahlenhaus
Ein Zahlenhaus ordnet die Zerlegungen einer Zahl. Die Dachzahl ist das Ganze. Die beiden Zahlen einer Etage sind die Teile.
Im Dach steht 7. Die Etage 2 und 5 passt, denn:
2 + 5 = 7
Auch 5 und 2 passen:
5 + 2 = 7
Die Teile haben ihre Plätze getauscht. Die Summe bleibt gleich.
Auf dieser Seite verwenden wir nur ganze Zahlen von 0 bis zur Dachzahl. 0 darf ein Teil sein, und Tauschaufgaben stehen in verschiedenen Etagen. Deshalb zählen 2 + 5 und 5 + 2 getrennt.
Wie findest du alle Etagen?
Einzelne passende Paare zu finden reicht nicht. Du brauchst eine Ordnungsstrategie, damit keine Zerlegung fehlt.
- Beginne in der ersten Etage mit 0.
- Erhöhe die erste Zahl in jeder neuen Etage um 1.
- Verringere gleichzeitig die zweite Zahl um 1.
- Prüfe nach jeder Etage, ob die Summe gleich der Dachzahl bleibt.
- Beende die Folge, wenn die erste Zahl die Dachzahl erreicht hat und die zweite Zahl 0 ist.
Für die Dachzahl 7 beginnt die geordnete Folge so:
- 0 + 7
- 1 + 6
- 2 + 5
- 3 + 4
Danach folgen 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1 und 7 + 0. Die erste Zahl wird immer um 1 größer, die zweite immer um 1 kleiner. Jede Summe bleibt 7.
Eine Zahl wird größer, die andere gleich stark kleiner. So bleibt das Ganze unverändert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer geordneten Zerlegung beginne ich mit der ersten Zahl bei . Danach wird sie jeweils um größer. Die zweite Zahl wird gleichzeitig . Dadurch bleibt die gleich.
So entsteht das vollständige Zehnerhaus
Die Dachzahl 10 lässt sich mit derselben Strategie vollständig zerlegen.
Wir beginnen mit 0 + 10 und verändern beide Teile schrittweise:
- 0 + 10 = 10
- 1 + 9 = 10
- 2 + 8 = 10
- 3 + 7 = 10
- 4 + 6 = 10
- 5 + 5 = 10
- 6 + 4 = 10
- 7 + 3 = 10
- 8 + 2 = 10
- 9 + 1 = 10
- 10 + 0 = 10
Damit ist das Zehnerhaus vollständig: Die erste Zahl läuft ohne Lücke von 0 bis 10. Zu jeder ersten Zahl steht genau der Teil daneben, der bis 10 fehlt.
Die Paare 1 + 9 und 9 + 1 sind Tauschaufgaben. Das gilt ebenso für 2 + 8 und 8 + 2, für 3 + 7 und 7 + 3 sowie für 4 + 6 und 6 + 4. In der Mitte steht 5 + 5; beim Tauschen ändert sich diese Aufgabe nicht.
Wie ergänzt du einen fehlenden Teil?
Manchmal ist nur ein Teil gegeben. Dann fragst du: Wie viel fehlt bis zur Dachzahl?
Im Dach steht 10, in einer Etage steht bereits 6.
Gesucht ist die Zahl in 6 + ? = 10.
Von 6 bis 10 fehlen 4. Deshalb gilt:
6 + 4 = 10
Du kannst das auch mit der Umkehraufgabe prüfen: 10 - 6 = 4.
Addition und Subtraktion beschreiben hier dieselbe Teil-Ganzes-Beziehung: Zwei Teile werden zum Ganzen addiert; ziehst du einen bekannten Teil vom Ganzen ab, erhältst du den fehlenden Teil.
Woran erkennst du Muster und Fehler?
Ein geordnetes Zahlenhaus lässt sich leicht prüfen:
- Jede Etage muss die Dachzahl ergeben.
- Die erste Zahl steigt ohne Sprung um 1.
- Die zweite Zahl sinkt ohne Sprung um 1.
- Die erste Etage beginnt mit 0 und der Dachzahl.
- Die letzte Etage endet mit der Dachzahl und 0.
Bei dieser Vereinbarung hat ein Haus mit der Dachzahl 7 acht Etagen: Die erste Zahl kann 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder 7 sein. Erhöht sich die Dachzahl um 1, kommt genau eine weitere Möglichkeit für die erste Zahl hinzu. Das nächste Haus besitzt daher eine Etage mehr.
Manche Aufgaben zählen Tauschaufgaben gemeinsam. Dann gelten zum Beispiel 3 + 4 und 4 + 3 als ein Paar. Prüfe deshalb immer die vereinbarte Zählweise. Auf dieser Seite stehen beide Aufgaben in eigenen Etagen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zahlenhaus
- Dachzahl: das Ganze
- Etage: zwei Teile
- Prüfung: beide Teile addieren
- Vollständige Suche: bei 0 beginnen
- Geordnetes Vorgehen: ersten Teil erhöhen, zweiten Teil verringern
- Beziehungen: Tauschaufgaben erkennen und fehlende Teile ergänzen
- Grundregel: Die Summe bleibt gleich
Abschluss-Check
Du kannst ein Zahlenhaus sicher lösen, wenn du nicht rätst, sondern die Teile geordnet veränderst. Prüfe zum Schluss jede Summe und kontrolliere, ob die erste Zahl ohne Lücke von 0 bis zur Dachzahl läuft.