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Zinsen berechnen: Formeln und Beispiele
Zinsen sind zusätzliches Geld, das du für angelegtes Geld erhältst oder für geliehenes Geld zahlst. Für ein Jahr berechnest du sie wie einen Prozentwert: Kapital mal Zinssatz geteilt durch 100.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Größen in einer Zinsaufgabe erkennen
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Statt Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert verwendest du besondere Bezeichnungen:
- Das Kapital $K$ ist der angelegte oder geliehene Geldbetrag.
- Der Zinssatz $p$ gibt an, wie viel Prozent pro Jahr berechnet werden.
- Die Zinsen $Z$ sind der zusätzliche Geldbetrag.
- Die Laufzeit sagt, wie lange das Geld angelegt oder geliehen wird.
Die Angabe p. a. bedeutet „pro Jahr“.
Jahreszinsen
Für genau ein Jahr gilt:
$$Z = \frac{K \cdot p}{100}$$
Setze für $p$ nur die Zahl ein. Bei $4\,\%$ setzt du also $4$ ein.
250 € werden ein Jahr lang zu 4 % angelegt.
- Gegeben sind $K = 250\,€$ und $p = 4$.
- Gesucht sind die Zinsen $Z$.
- Einsetzen:
$$Z = \frac{250\,€ \cdot 4}{100} = 10\,€$$
Nach einem Jahr entstehen 10 € Zinsen. Das Guthaben beträgt dann $250\,€ + 10\,€ = 260\,€$.
Zinsen für Monate und Tage berechnen
Ein Jahreszinssatz gilt für ein ganzes Jahr. Bei einer kürzeren Laufzeit erhältst oder zahlst du nur den entsprechenden Anteil der Jahreszinsen.
Für $m$ Monate gilt:
$$Z = \frac{K \cdot p \cdot m}{1.200}$$
Die Zahl 1.200 entsteht aus $100 \cdot 12$: Du berücksichtigst den Prozentsatz und den Anteil der Monate am Jahr.
600 € werden 3 Monate lang zu 5 % angelegt.
$$Z = \frac{600\,€ \cdot 5 \cdot 3}{1.200} = 7{,}50\,€$$
Für drei Monate entstehen 7,50 € Zinsen.
Für Tageszinsen verwenden die Aufgaben auf dieser Seite das Bankjahr mit 360 Tagen:
$$Z = \frac{K \cdot p \cdot d}{36.000}$$
Dabei ist $d$ die Anzahl der Tage. Die Zahl 36.000 entsteht aus $100 \cdot 360$.
800 € werden 45 Tage lang zu 3 % angelegt.
$$Z = \frac{800\,€ \cdot 3 \cdot 45}{36.000} = 3\,€$$
Für 45 Tage entstehen 3 € Zinsen.
Prüfe bei Tageszinsaufgaben immer, welche Zeitrechnung vorgegeben ist. Die Formeln dieser Seite gelten für das Bankjahr mit 360 Tagen. Eine Rechnung mit 365 Tagen hätte einen anderen Nenner und ein anderes Ergebnis.
Zinssatz oder Kapital rückwärts bestimmen
Nicht immer sind die Zinsen gesucht. Gehe bei jeder Aufgabe in vier Schritten vor:
- Schreibe die gegebenen Größen mit ihren Einheiten auf.
- Markiere die gesuchte Größe.
- Wähle die Formel zur Laufzeit und stelle sie um.
- Setze die Werte ein und prüfe das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Für genau ein Jahr lautet die Grundformel $Z = K \cdot p / 100$. Daraus folgen zwei Umstellungen:
$$p = \frac{Z \cdot 100}{K}$$
$$K = \frac{Z \cdot 100}{p}$$
Ein Kapital von 3.000 € bringt nach einem Jahr 150 € Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz?
Gesucht ist $p$:
$$p = \frac{150 \cdot 100}{3.000} = 5$$
Der Jahreszinssatz beträgt 5 %.
Bei 4 % Jahreszins entstehen 18 € Zinsen. Wie groß ist das Kapital?
Gesucht ist $K$:
$$K = \frac{18\,€ \cdot 100}{4} = 450\,€$$
Das Kapital beträgt 450 €.
Schätze vor dem Rechnen: Mehr Kapital, ein höherer Zinssatz oder eine längere Laufzeit führen bei einfacher Verzinsung zu mehr Zinsen.
Einfache Verzinsung vom Zinseszins unterscheiden
Bei einfacher Verzinsung wird der Zinssatz in jedem Jahr nur auf das ursprüngliche Kapital angewendet. Für $n$ Jahre gilt:
$$Z = \frac{K \cdot p \cdot n}{100}$$
Diese Formel darfst du nicht verwenden, wenn die Zinsen auf dem Konto bleiben und in späteren Jahren selbst verzinst werden. Dann entsteht Zinseszins: Das Kapital wächst nach jedem Jahr, sodass die nächste Zinsberechnung von einem höheren Betrag ausgeht.
200 € werden drei Jahre lang zu 6 % angelegt.
Bei einfacher Verzinsung entstehen insgesamt:
$$Z = \frac{200\,€ \cdot 6 \cdot 3}{100} = 36\,€$$
Das Endkapital beträgt 236 €.
Werden die Zinsen dagegen jedes Jahr wieder angelegt, beträgt das Endkapital nach drei Jahren 238,20 €. Die zusätzlichen 2,20 € entstehen durch Zinsen auf bereits gutgeschriebene Zinsen.
Gemischte Zinsaufgaben lösen
Entscheide zuerst anhand der Laufzeit, welche Formel passt. Rechne erst danach.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zinsen berechnen
- Größen: Kapital, Zinssatz, Zinsen und Laufzeit
- Jahreszins: Prozentsatz des Kapitals
- Monatszins: Anteil von zwölf Monaten
- Tageszins: Anteil des vereinbarten Jahres
- Rückwärtsrechnung: Formel nach der gesuchten Größe umstellen
- Einfache Verzinsung: stets dasselbe Ausgangskapital
- Zinseszins: bereits entstandene Zinsen werden mitverzinst
Abschluss-Check
Du kannst Zinsaufgaben sicher lösen, wenn du zuerst die Größen und die Laufzeit erkennst, dann die passende Formel wählst und das Ergebnis mit Einheit und Sachzusammenhang prüfst.