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Zinsrechnung: Formeln, Beispiele und Aufgaben
Bei der Zinsrechnung berechnest du, wie viel Geld ein Kapital durch einen Zinssatz gewinnt oder kostet. Sie ist eine Anwendung der Prozentrechnung: Kapital, Zinssatz und Zinsen entsprechen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert.
Auf dieser Seite lernst du außerdem, Zinsen für Teile eines Jahres zu bestimmen, rückwärts nach Kapital oder Zinssatz zu rechnen und einfache Verzinsung vom Zinseszins zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der Prozentrechnung zur Zinsrechnung
Wenn du Geld anlegst, kann die Bank dir Zinsen zahlen. Bei einem Kredit zahlst du dagegen Zinsen für geliehenes Geld. Die drei Grundgrößen sind immer dieselben:
| Prozentrechnung | Zinsrechnung | Zeichen |
|---|---|---|
| Grundwert | Kapital | $K$ |
| Prozentsatz | Zinssatz | $p$ |
| Prozentwert | Zinsen | $Z$ |
Kapital
Das Kapital $K$ ist der Geldbetrag, der angelegt oder ausgeliehen wird.
Zinssatz
Der Zinssatz $p$ gibt an, wie viel Prozent des Kapitals innerhalb einer Zinsperiode als Zinsen anfallen. Die Angabe p. a. bedeutet „pro Jahr“.
Zinsen
Die Zinsen $Z$ sind der Geldbetrag, der durch die Verzinsung entsteht.
Für ein Jahr gilt:
$$Z=\frac{K\cdot p}{100}$$
In dieser Formel setzt du für $p$ die Prozentzahl ohne Prozentzeichen ein: Bei $4\,\%$ verwendest du also $p=4$.
Für $K=1\,500\,€$ und $p=4\,\%$ gilt:
$$Z=\frac{1\,500\,€\cdot4}{100}=60\,€$$
Nach einem Jahr entstehen $60\,€$ Zinsen. Das Endguthaben beträgt damit $1\,500\,€+60\,€=1\,560\,€$.
Kapital ist der Ausgangsbetrag. Zinsen sind nur der hinzugekommene oder zu zahlende Betrag. Erst Kapital plus Zinsen ergibt den Endbetrag nach einem Jahr.
Zinsen für Jahre, Monate und Tage berechnen
Zinsen hängen nicht nur von Kapital und Zinssatz ab, sondern auch von der Laufzeit. Bei einfacher Verzinsung werden sie proportional zur Zeit berechnet: Eine halb so lange Laufzeit ergibt bei gleichem Kapital und Zinssatz halb so viele Zinsen.
Mehrere Jahre ohne Zinseszins
Für $t$ Jahre mit einfachen Zinsen gilt:
$$Z=\frac{K\cdot p\cdot t}{100}$$
Dabei bleibt das Startkapital in jedem Jahr die Berechnungsgrundlage.
Monatszinsen
Ein Jahr hat zwölf Monate. Für $m$ Monate gilt deshalb:
$$Z=\frac{K\cdot p\cdot m}{100\cdot12}=\frac{K\cdot p\cdot m}{1\,200}$$
$2\,300\,€$ werden für zehn Monate zu $0{,}5\,\%$ angelegt.
$$Z=\frac{2\,300\,€\cdot0{,}5\cdot10}{1\,200}\approx9{,}58\,€$$
Die Anlage bringt für zehn Monate rund $9{,}58\,€$ Zinsen.
Tageszinsen
In den Tageszinsaufgaben dieser Seite gilt die kaufmännische Zeitrechnung:
- ein Jahr hat 360 Tage;
- ein Monat hat 30 Tage.
Für $t$ Tage lautet die Formel:
$$Z=\frac{K\cdot p\cdot t}{100\cdot360}=\frac{K\cdot p\cdot t}{36\,000}$$
$10\,500\,€$ werden für 60 Tage zu $1{,}5\,\%$ angelegt.
$$Z=\frac{10\,500\,€\cdot1{,}5\cdot60}{36\,000}=26{,}25\,€$$
Für 60 kaufmännische Tage entstehen $26{,}25\,€$ Zinsen.
Prüfe vor dem Einsetzen die Zeiteinheit: Jahre stehen als Anzahl der Jahre in der Jahresformel, Monate als Anteil von 12 und kaufmännische Tage als Anteil von 360.
Kapital oder Zinssatz rückwärts bestimmen
Manchmal sind die Zinsen schon bekannt. Dann fragst du zuerst: Welche Größe wird gesucht? Anschließend stellst du die Grundformel passend um.
Für ein Jahr gelten diese drei Formen:
$$Z=\frac{K\cdot p}{100}$$
$$K=\frac{Z\cdot100}{p}$$
$$p=\frac{Z\cdot100}{K}$$
Für ein Jahr sind $Z=18\,€$ und $p=4\,\%$ gegeben. Gesucht ist das Kapital.
$$K=\frac{18\,€\cdot100}{4}=450\,€$$
Das angelegte Kapital betrug $450\,€$. Zur Kontrolle: $4\,\%$ von $450\,€$ sind tatsächlich $18\,€$.
Bei Monatszinsen kannst du entsprechend umstellen:
$$K=\frac{Z\cdot1\,200}{p\cdot m}$$
$$p=\frac{Z\cdot1\,200}{K\cdot m}$$
$$m=\frac{Z\cdot1\,200}{K\cdot p}$$
Für kaufmännische Tageszinsen ersetzt du $1\,200$ durch $36\,000$ und $m$ durch die Tageszahl $t$.
Wenn eine Aufgabe Anfangs- und Endbetrag nennt, berechnest du zuerst die Zinsen als Differenz:
$$Z=\text{Endbetrag}-\text{Anfangskapital}$$
Erst danach bestimmst du beispielsweise den Zinssatz.
Einfache Verzinsung und Zinseszins unterscheiden
Bei mehreren Jahren musst du klären, was mit den Zinsen geschieht.
- Bei einfacher Verzinsung werden die Zinsen jedes Jahr nur aus dem Startkapital berechnet. Der jährliche Zinsbetrag bleibt gleich.
- Beim Zinseszins werden die gutgeschriebenen Zinsen zum Kapital addiert. Im nächsten Jahr werden auch diese früheren Zinsen mitverzinst.
$1\,500\,€$ werden drei Jahre lang zu $3\,\%$ verzinst.
Einfache Verzinsung:
Der Jahreszins beträgt
$$\frac{1\,500\,€\cdot3}{100}=45\,€$$
Nach drei Jahren sind es $3\cdot45\,€=135\,€$ Zinsen. Der Endbetrag beträgt $1\,635\,€$.
Mit jährlichem Zinseszins:
| Zeitpunkt | Rechnung | Guthaben |
|---|---|---|
| Start | gegeben | $1\,500{,}00\,€$ |
| nach Jahr 1 | $1\,500{,}00\cdot1{,}03$ | $1\,545{,}00\,€$ |
| nach Jahr 2 | $1\,545{,}00\cdot1{,}03$ | $1\,591{,}35\,€$ |
| nach Jahr 3 | $1\,591{,}35\cdot1{,}03$ | $1\,639{,}09\,€$ |
Mit Zinseszins ist der Endbetrag nach drei Jahren um $4{,}09\,€$ höher. Der Unterschied entsteht, weil die Zinsen aus den ersten Jahren später selbst Zinsen bringen.
„Jährlich ausgezahlt“ spricht für einfache Verzinsung ohne Wiederanlage. „Jährlich gutgeschrieben und mitverzinst“ beschreibt Zinseszins.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zinsrechnung
- Grundgrößen: Kapital, Zinssatz, Zinsen
- Zeitanteile: Jahre, Monate, kaufmännische Tage
- Rückwärtsrechnen: Kapital oder Zinssatz bestimmen
- Mehrere Jahre: einfache Verzinsung oder Zinseszins
Abschluss-Check
Wenn du bei einer Aufgabe zuerst die gesuchte Größe, dann die Laufzeit und schließlich die Art der Verzinsung bestimmst, kannst du die passende Formel sicher auswählen und dein Ergebnis im Geldzusammenhang prüfen.