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Zinseszins berechnen: Formel, Beispiele, Übungen
Beim Zinseszins werden nicht nur dein Startkapital, sondern auch bereits gutgeschriebene Zinsen weiterverzinst. Deshalb wächst das Kapital bei einem positiven, gleichbleibenden Zinssatz von Jahr zu Jahr stärker.
Auf dieser Seite lernst du, den Zinseszinseffekt zu erklären, End- und Anfangskapital zu berechnen und ihn von einer Verzinsung ohne Wiederanlage zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht der Zinseszinseffekt?
Stell dir vor, du legst $2.500\,€$ zu einem jährlichen Zinssatz von $5\,\%$ an. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
Im ersten Jahr erhältst du:
$$2.500\,€ \cdot 0{,}05 = 125\,€$$
Danach liegen $2.625\,€$ auf dem Konto. Im zweiten Jahr werden nicht mehr nur die ursprünglichen $2.500\,€$ verzinst, sondern die gesamten $2.625\,€$:
$$2.625\,€ \cdot 0{,}05 = 131{,}25\,€$$
Nach zwei Jahren besitzt du daher:
$$2.625\,€ + 131{,}25\,€ = 2.756{,}25\,€$$
Zinseszins
Zinseszins entsteht, wenn gutgeschriebene Zinsen im Kapital bleiben und in späteren Zeiträumen selbst Zinsen bringen.
Ohne Wiederanlage bleibt der jährliche Zinsbetrag gleich. Mit Wiederanlage wächst die verzinste Grundlage und damit auch der Zinsbetrag.
Wie berechnest du das Endkapital?
Für einen konstanten jährlichen Zinssatz verwendest du den Zinsfaktor $q$:
$$q = 1 + \frac{p}{100}$$
Dabei ist $p$ der Zinssatz als Zahl ohne Prozentzeichen. Bei $3\,\%$ gilt also:
$$q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$$
Das Endkapital nach $n$ Jahren berechnest du mit:
$$K_n = K_0 \cdot q^n$$
Das bedeuten die Zeichen:
- $K_0$: Anfangskapital
- $K_n$: Endkapital nach $n$ Jahren
- $p$: jährlicher Zinssatz in Prozent
- $q$: Zinsfaktor
- $n$: Anzahl der Jahre
Die Potenz $q^n$ zeigt, dass das Kapital in jedem Jahr erneut mit demselben Faktor multipliziert wird.
$3.000\,€$ werden fünf Jahre lang mit $3\,\%$ pro Jahr verzinst.
Zuerst bestimmst du den Zinsfaktor:
$$q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$$
Dann setzt du die Werte in die Formel ein:
$$K_5 = 3.000\,€ \cdot 1{,}03^5$$
$$K_5 = 3.000\,€ \cdot 1{,}159274\ldots$$
$$K_5 \approx 3.477{,}82\,€$$
Nach fünf Jahren beträgt das Endkapital rund $3.477{,}82\,€$. Der gesamte Zinsgewinn ist:
$$3.477{,}82\,€ - 3.000\,€ = 477{,}82\,€$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $3\,\%$ Jahreszins ist der Zinsfaktor . Für fünf Jahre steht der Faktor in der Potenz . Das Endkapital erhältst du durch von Anfangskapital und Faktorpotenz.
Was unterscheidet Zinseszins von einfachen Zinsen?
Bei einer Verzinsung ohne Wiederanlage werden die Zinsen ausgezahlt. Deshalb werden sie im nächsten Jahr nicht mitverzinst. Bei der Verzinsung mit Wiederanlage bleiben sie im Kapital.
Vergleiche $10.000\,€$ bei $5\,\%$ über drei Jahre. Die Tabelle zeigt den gesamten Betrag aus Anlagekapital und bisher ausgezahlten oder wiederangelegten Zinsen. Ohne Wiederanlage bleiben die ausgezahlten Zinsen außerhalb des Anlagekontos.
| Jahr | Ohne Wiederanlage | Mit Wiederanlage |
|---|---|---|
| Start | $10.000\,€$ | $10.000\,€$ |
| 1 | $10.500\,€$ | $10.500\,€$ |
| 2 | $11.000\,€$ | $11.025\,€$ |
| 3 | $11.500\,€$ | $11.576{,}25\,€$ |
Ohne Wiederanlage entstehen jedes Jahr $500\,€$ Zinsen. Mit Wiederanlage wächst der jährliche Zinsbetrag von $500\,€$ über $525\,€$ auf $551{,}25\,€$.
Nach drei Jahren beträgt der Unterschied:
$$11.576{,}25\,€ - 11.500\,€ = 76{,}25\,€$$
Wie bestimmst du das Anfangskapital?
Manchmal kennst du das gewünschte Endkapital und möchtest wissen, wie viel Geld du zu Beginn anlegen musst. Dann stellst du die Grundformel nach $K_0$ um:
$$K_0 = \frac{K_n}{q^n}$$
Du teilst also das Endkapital durch den Wachstumsfaktor der gesamten Laufzeit.
Nach sieben Jahren sollen bei $2{,}5\,\%$ Jahreszins $10.000\,€$ vorhanden sein.
Der Zinsfaktor ist:
$$q = 1 + \frac{2{,}5}{100} = 1{,}025$$
Nun setzt du ein:
$$K_0 = \frac{10.000\,€}{1{,}025^7}$$
$$K_0 \approx 8.412{,}65\,€$$
Du musst also ungefähr $8.412{,}65\,€$ anlegen. Zur Kontrolle setzt du dieses Anfangskapital wieder in die Formel für das Endkapital ein.
Wann reicht die Grundformel nicht aus?
Die Formel $K_n=K_0q^n$ passt nur, wenn
- der Zinssatz während der gesamten Laufzeit gleich bleibt,
- die Verzinsung in den betrachteten Beispielen jährlich erfolgt,
- die Zinsen wiederangelegt werden und
- während der Laufzeit keine zusätzlichen Ein- oder Auszahlungen stattfinden.
Ändern sich Zinssatz oder Kapital zwischendurch, rechnest du die Zeiträume einzeln. Nach jedem Jahr bestimmst du das neue Kapital und berücksichtigst anschließend die Änderung.
Nach vier Jahren liegen $21.961{,}50\,€$ auf einem Konto. Zu Beginn des fünften Jahres werden weitere $5.000\,€$ eingezahlt. Der Zinssatz beträgt in diesem Jahr $10\,\%$.
Zuerst addierst du die Einzahlung:
$$21.961{,}50\,€ + 5.000\,€ = 26.961{,}50\,€$$
Erst danach berechnest du die Zinsen des fünften Jahres:
$$26.961{,}50\,€ \cdot 1{,}10 = 29.657{,}65\,€$$
Die Einzahlung wird mitverzinst, weil sie zu Beginn des Jahres erfolgt.
Rechenergebnisse sind Modellwerte. Tatsächliche Anlagebeträge können durch Rundungen, Gebühren, Steuern, andere Verzinsungsintervalle oder wechselnde Zinssätze abweichen. Hohe angenommene Renditen sind außerdem keine Garantie und können bei realen Anlagen mit Verlustrisiken verbunden sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zinseszins
- Ursache: Zinsen bleiben im Kapital
- Folge: Die verzinste Grundlage wächst
- Zinsfaktor: $q=1+\frac{p}{100}$
- Endkapital: $K_n=K_0q^n$
- Rückwärtsrechnung: $K_0=\frac{K_n}{q^n}$
- Vergleich: Wiederanlage erzeugt zusätzliche Zinsen
- Grenze: Änderungen erfordern eine jahrweise Rechnung