Mit Google fortfahren
Wenn Geld mehrere Jahre verzinst wird, kommen im nächsten Jahr die Zinsen des Vorjahres mit dazu. Dadurch wächst das Kapital schneller als bei einfachem Zins.
Hier lernst du, was Zinseszins bedeutet, wie du die Formel benutzt und wie du Wachstumsfaktor, Zinssatz und Laufzeit unterscheidest.
- Ich kann den Unterschied zwischen Zins und Zinseszins erklären.
- Ich kann den Wachstumsfaktor aus einem Zinssatz bilden.
- Ich kann die Zinseszinsformel anwenden.
- Ich kann Kapital nach mehreren Jahren berechnen.
- Ich kann typische Textaufgaben sinnvoll deuten.
Von Zinsen zu Zinseszinsen
Zinsen sind der Betrag, den du für angelegtes Geld dazubekommst. Beim Zinseszins bleiben diese Zinsen auf dem Konto und werden später selbst wieder verzinst.
Zinseszins
Zinseszins entsteht, wenn gutgeschriebene Zinsen im nächsten Zeitraum zum Kapital gehören und wieder mitverzinst werden.
Du legst \(100\,€\) zu \(5\,\%\) pro Jahr an.
Nach einem Jahr bekommst du \(5\,€\) Zinsen.
Das neue Kapital ist \(105\,€\).
Im zweiten Jahr werden nicht nur \(100\,€\), sondern \(105\,€\) verzinst.
Beim Zinseszins wächst das Kapital jedes Jahr auf Basis des neuen Kapitals.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Wachstumsfaktor
Der Zinssatz wird in der Formel als Faktor verwendet. Ein Zuwachs um \(p\,\%\) bedeutet: Du multiplizierst mit \(1+\frac p{100}\).
Wachstumsfaktor
Der Wachstumsfaktor \(q\) beschreibt, womit das Kapital pro Zeitraum multipliziert wird. Bei \(p\,\%\) Zinsen gilt \(q=1+\frac p{100}\).
Bei \(4\,\%\) Zinsen ist:
\(q=1+\frac4{100}=1{,}04\).
Das Kapital wird jedes Jahr mit \(1{,}04\) multipliziert.
Bei \(2{,}5\,\%\) Zinsen ist:
\(q=1+\frac{2{,}5}{100}=1{,}025\).
\(3\,\%\) mehr heißt Faktor \(1{,}03\), nicht Faktor \(3\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Die Zinseszinsformel
Wenn Startkapital, Zinssatz und Jahre bekannt sind, nutzt du die Zinseszinsformel.
Zinseszinsformel
Für ein Startkapital \(K_0\), Wachstumsfaktor \(q\) und Laufzeit \(n\) gilt:
\(1000\,€\) werden \(3\) Jahre lang zu \(4\,\%\) angelegt.
\(K_0=1000\), \(q=1{,}04\), \(n=3\).
Nach \(3\) Jahren sind es ungefähr \(1124{,}86\,€\).
Probe als Jahresrechnung:
Nach Jahr 1: \(1000\cdot1{,}04=1040\).
Nach Jahr 2: \(1040\cdot1{,}04=1081{,}60\).
Nach Jahr 3: \(1081{,}60\cdot1{,}04=1124{,}864\).
Die Hochzahl \(n\) zählt die Anzahl der Verzinsungszeiträume.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Rückwärts denken
Manchmal ist das Endkapital bekannt und du suchst das Startkapital oder den Zinssatz. Dann stellst du die Formel um.
Nach \(2\) Jahren sind bei \(5\,\%\) Zinsen \(1102{,}50\,€\) auf dem Konto. Wie groß war das Startkapital?
\(q=1{,}05\), \(n=2\).
\(K_2=K_0\cdot1{,}05^2\).
\(1102{,}50=K_0\cdot1{,}1025\).
\(K_0=1102{,}50:1{,}1025=1000\).
Das Startkapital war \(1000\,€\).
Beim Suchen des Zinssatzes brauchst du oft Wurzeln oder Logarithmen. In vielen Schulaufgaben reicht es, mit gegebenen Faktoren zu rechnen oder Tabellenwerte zu vergleichen.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Prüfungsmodus: Textaufgaben übersetzen
In Textaufgaben musst du zuerst die Größen erkennen.
"Ein Kapital von \(800\,€\) wächst jährlich um \(2\,\%\). Wie viel ist es nach \(5\) Jahren?"
\(K_0=800\)
\(q=1{,}02\)
\(n=5\)
\(K_5=800\cdot1{,}02^5\approx883{,}26\)
Nach \(5\) Jahren sind es ungefähr \(883{,}26\,€\).
"Das Kapital verdoppelt sich ungefähr."
Das ist ein Hinweis auf exponentielles Wachstum. Du prüfst mit \(K_n=K_0q^n\), nicht mit einer gleich großen jährlichen Addition.
Achte auf den Zeitraum: jährlich, monatlich oder halbjährlich. Der Faktor und die Hochzahl müssen zum gleichen Zeitraum gehören.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Abschluss-Check
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Zusammenfassung
Beim Zinseszins werden Zinsen im nächsten Zeitraum wieder mitverzinst. Deshalb rechnest du mit Potenzen.
Die wichtigste Formel ist \(K_n=K_0\cdot q^n\) mit \(q=1+\frac p{100}\). Achte darauf, dass Zinssatz, Faktor und Zeitraum zusammenpassen.