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Zufall und Wahrscheinlichkeit in der Grundschule
Bei einem Zufallsexperiment kennst du die möglichen Ergebnisse, aber nicht das Ergebnis des nächsten Versuchs. Du kannst trotzdem beurteilen, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist und ob eine Chance größer oder kleiner als eine andere ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist ein Zufallsexperiment?
Du wirfst eine Münze. Wird sie Kopf oder Zahl zeigen? Beides ist möglich, doch vor dem Wurf steht das Ergebnis nicht fest.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch unter festgelegten Bedingungen. Die möglichen Ergebnisse sind bekannt, aber du kannst das Ergebnis des nächsten Versuchs nicht sicher vorhersagen. Der Versuch lässt sich unter denselben Bedingungen wiederholen.
Typische Zufallsexperimente sind:
- eine Münze werfen;
- einen Würfel werfen;
- eine Kugel blind aus einem gemischten Säckchen ziehen;
- ein Glücksrad drehen.
Das Ergebnis ist das, was bei einem einzelnen Versuch tatsächlich eintritt. Beim Münzwurf lautet es zum Beispiel „Kopf“.
Bei einem Münzwurf gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl. Die Ergebnismenge kann so notiert werden:
$$M=\{\text{Kopf};\text{Zahl}\}$$
Vor dem Wurf kennst du beide Möglichkeiten. Welche davon tatsächlich eintritt, weißt du erst danach.
Ein Vorgang ist nicht allein deshalb zufällig, weil du das Ergebnis noch nicht kennst. Wenn eine verdeckte Karte bereits fest auf dem Tisch liegt, ist ihre Zahl zwar für dich unbekannt, aber sie wird durch das Aufdecken nicht neu durch Zufall bestimmt.
Sicher, möglich oder unmöglich?
Die Wörter sicher, möglich und unmöglich beschreiben, ob ein Ereignis unter den festgelegten Bedingungen eintreten kann.
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Aussage über ein oder mehrere mögliche Ergebnisse. Beim Würfeln ist „Es fällt eine gerade Zahl“ ein Ereignis. Dazu passen die Ergebnisse 2, 4 und 6.
- Sicher: Das Ereignis muss eintreten.
- Möglich: Das Ereignis kann eintreten, muss aber nicht.
- Unmöglich: Das Ereignis kann nicht eintreten.
Ein normaler Würfel trägt die Zahlen 1 bis 6.
- „Es fällt eine Zahl von 1 bis 6“ ist sicher.
- „Es fällt eine 4“ ist möglich.
- „Es fällt eine 7“ ist unmöglich, denn auf dem Würfel gibt es keine 7.
Die Begründung kommt immer vom Zufallsgerät und seinen möglichen Ergebnissen.
Prüfe zuerst die Bedingungen und alle möglichen Ergebnisse. Entscheide erst danach, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist.
Im Alltag bedeutet „sicher“ manchmal nur „fast gewiss“. In der Mathematik ist der Begriff strenger: Ein sicheres Ereignis muss unter den festgelegten Bedingungen eintreten. „Praktisch unmöglich“ ist ebenfalls nicht dasselbe wie unmöglich. Ein sehr seltenes Ereignis kann weiterhin möglich sein.
Welche Chance ist größer?
Zwei mögliche Ereignisse müssen nicht dieselbe Chance haben. Dafür vergleichst du, wie viele passende Möglichkeiten es gibt.
In einem undurchsichtigen Säckchen liegen vier gleich große blaue Kugeln und eine gleich große rote Kugel. Alle Kugeln werden gut gemischt, dann wird eine Kugel blind gezogen.
Blau und Rot sind beide möglich. Blau ist aber wahrscheinlicher als Rot, weil mehr blaue Kugeln im Säckchen liegen. Rot ist unwahrscheinlicher, aber nicht unmöglich.
„Wahrscheinlich“ und „unwahrscheinlich“ haben im Alltag keine überall gleich festen Zahlengrenzen. Für eine klare mathematische Aussage ist ein Vergleich oft besser: „Blau ist wahrscheinlicher als Rot.“
Viele passende, gleichartige Möglichkeiten sprechen für eine größere Chance. Eine größere Chance ist aber keine Garantie für den nächsten Versuch.
Auch das Aussehen kann täuschen. Bei einem Glücksrad zählt die Größe der Farbbereiche, nicht nur die Zahl der einzelnen Felder. Zwei verschieden gezeichnete Räder können deshalb gleiche Chancen besitzen, wenn ihre Farbanteile gleich groß sind.
Was zeigen viele Wiederholungen?
Eine Wahrscheinlichkeit sagt nicht voraus, was bei einem einzelnen Versuch geschehen muss. Wiederholte Versuche zeigen jedoch, wie häufig die Ergebnisse tatsächlich aufgetreten sind.
Häufigkeit
Die Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis oder Ereignis in einer Versuchsreihe vorkommt.
Eine faire Münze wurde 50-mal geworfen. Beobachtet wurden:
- 28-mal Kopf;
- 22-mal Zahl.
Beide Münzseiten haben dieselbe theoretische Wahrscheinlichkeit:
$$P(\text{Kopf})=P(\text{Zahl})=\frac{1}{2}$$
Das bedeutet nicht, dass bei 50 Würfen genau 25-mal Kopf und 25-mal Zahl erscheinen müssen. Die Verteilung 28 zu 22 ist eine mögliche Abweichung.
Mit wachsender Zahl von Wiederholungen nähert sich das beobachtete Verhältnis typischerweise der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Eine bestimmte Verteilung wird dadurch aber für keine endliche Versuchsreihe garantiert.
Vertiefung: Möglichkeiten geordnet darstellen
Ein Ereignisbaum ordnet die möglichen Ergebnisse eines Versuchs. Beim einmaligen Münzwurf führen zwei Äste von „Münzwurf“ zu Kopf und Zahl. Beide Äste tragen bei einer fairen Münze die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.
Bei zwei Würfen wird an jeden Ast erneut Kopf und Zahl angefügt. So findest du systematisch die vier Ergebnisfolgen Kopf–Kopf, Kopf–Zahl, Zahl–Kopf und Zahl–Zahl.
Wann ist ein Spiel fair?
Ein Zufallsspiel ist fair, wenn die Gewinnregeln den Spielenden gleich große Gewinnchancen geben. Dafür musst du das Zufallsgerät und die Regeln gemeinsam betrachten.
Zwei Kinder spielen mit einem fairen Würfel.
- Kind A gewinnt bei 1, 2 oder 3.
- Kind B gewinnt bei 4, 5 oder 6.
Beide Kinder besitzen drei der sechs gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Das Spiel ist fair.
Würde Kind A bei 1, 2, 3 oder 4 gewinnen und Kind B nur bei 5 oder 6, hätte Kind A die größere Gewinnchance. Das Spiel wäre unfair.
Eine abwechselnde Reihenfolge macht ein Spiel noch nicht fair. Entscheidend sind die Gewinnchancen, die aus Gerät und Regel entstehen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zufall und Wahrscheinlichkeit
- Zufallsexperiment: Ergebnisse bekannt, nächstes Ergebnis offen
- Ereignisse: sicher, möglich oder unmöglich
- Chancen: wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher vergleichen
- Versuchsreihe: Ergebnisse zählen und Häufigkeiten auswerten
- Wahrscheinlichkeit: keine Garantie für ein einzelnes Ergebnis
- Fairness: Gewinnchancen aus Gerät und Regel vergleichen
Abschluss-Check
Du kannst Zufallssituationen nun in drei Schritten untersuchen: Lege die Bedingungen und möglichen Ergebnisse fest, ordne oder vergleiche die Ereignisse und begründe deine Entscheidung am Zufallsgerät. Bei Versuchsreihen trennst du dabei immer die erwartete Chance von der tatsächlich beobachteten Häufigkeit.