Mit Google fortfahren
Dichte verstehen, messen und berechnen
Die Dichte gibt an, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Du berechnest sie, indem du die Masse durch das Volumen teilst: $\rho=\frac{m}{V}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum gleich große Körper verschieden schwer sein können
Stell dir einen Aluminiumwürfel und einen gleich großen Holzwürfel vor. Beide besitzen dasselbe Volumen, aber der Aluminiumwürfel hat eine größere Masse. Aluminium hat deshalb in diesem Vergleich die größere Dichte.
Dichte
Die Dichte $\rho$ ist das Verhältnis der Masse $m$ zum Volumen $V$. Sie beschreibt die Masse pro Volumeneinheit.
$$\rho=\frac{m}{V}$$
Typische Einheiten sind Gramm je Kubikzentimeter ($\mathrm{g/cm^3}$) und Kilogramm je Kubikmeter ($\mathrm{kg/m^3}$).
- Die Masse beschreibt, wie viel Materie ein Körper besitzt. Sie wird beispielsweise in Gramm oder Kilogramm angegeben.
- Das Volumen beschreibt, wie viel Raum der Körper einnimmt. Einheiten sind zum Beispiel Kubikzentimeter, Liter oder Kubikmeter.
- Die Dichte verbindet beide Größen. Sie ist nicht einfach dasselbe wie Masse.
Bei gleichem Volumen gilt: Der Körper mit der größeren Masse hat die größere Dichte. Bei gleicher Masse gilt: Der Körper mit dem größeren Volumen hat die kleinere Dichte.
Vergleiche Stoffe nicht nur nach ihrer Masse. Beziehe die Masse immer auf ein Volumen.
Wie du mit der Dichteformel rechnest
Vor jeder Rechnung ordnest du den Zahlen ihre Größen und Einheiten zu. Erst dann setzt du sie in die Formel ein.
Ein Würfel besitzt die Kantenlänge $a=2\,\mathrm{cm}$ und die Masse $m=63\,\mathrm{g}$.
1. Volumen berechnen
$$V=a^3=2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm^3}$$
2. Dichte berechnen
$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{63\,\mathrm{g}}{8\,\mathrm{cm^3}}=7{,}875\,\mathrm{g/cm^3}$$
Der Würfel besitzt eine Dichte von $7{,}875\,\mathrm{g/cm^3}$. Das bedeutet: Ein Kubikzentimeter des Stoffes hat eine Masse von $7{,}875\,\mathrm{g}$.
Sind andere Größen gesucht, stellst du die Formel um:
- Masse: $m=\rho\cdot V$
- Volumen: $V=\frac{m}{\rho}$
Aluminium hat eine Dichte von $2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}$. Ein Aluminiumstück besitzt ein Volumen von $20\,\mathrm{cm^3}$.
$$m=\rho\cdot V=2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}\cdot20\,\mathrm{cm^3}=54\,\mathrm{g}$$
Die Kubikzentimeter kürzen sich heraus. Die berechnete Masse beträgt $54\,\mathrm{g}$.
Wie du Masse und Volumen misst
Die Masse bestimmst du mit einer Waage. Das Volumen hängt von der Form und vom Stoffzustand ab.
Regelmäßige Festkörper
Bei einem Würfel oder Quader berechnest du das Volumen aus den gemessenen Kantenlängen. Für einen Würfel gilt $V=a^3$.
Unregelmäßige Festkörper
Bei einem vollständig eintauchbaren Körper kannst du die Verdrängungsmethode verwenden:
- Lies das Wasservolumen im Messzylinder ab.
- Tauche den Körper vollständig ein.
- Lies den neuen Wasserstand ab.
- Subtrahiere den Anfangswert vom Endwert.
$$V_{\mathrm{Körper}}=V_{\mathrm{nachher}}-V_{\mathrm{vorher}}$$
Dabei gilt $1\,\mathrm{ml}=1\,\mathrm{cm^3}$.
Der Wasserstand steigt von $30\,\mathrm{ml}$ auf $45\,\mathrm{ml}$.
$$V_{\mathrm{Körper}}=45\,\mathrm{ml}-30\,\mathrm{ml}=15\,\mathrm{ml}=15\,\mathrm{cm^3}$$
Hat der Körper eine Masse von $48\,\mathrm{g}$, dann gilt:
$$\rho=\frac{48\,\mathrm{g}}{15\,\mathrm{cm^3}}=3{,}2\,\mathrm{g/cm^3}$$
Flüssigkeiten
Bei einer Flüssigkeit liest du das Volumen am Messgefäß ab. Ihre Masse erhältst du aus der Differenz zwischen dem gefüllten und dem leeren Gefäß:
$$m_{\mathrm{Flüssigkeit}}=m_{\mathrm{gefüllt}}-m_{\mathrm{leer}}$$
Ziehe bei Differenzmessungen immer den Anfangs- oder Leerwert ab. Der Endwert allein ist noch nicht das gesuchte Körpervolumen oder die Flüssigkeitsmasse.
Was ein Masse-Volumen-Diagramm zeigt
Für verschieden große Stücke desselben homogenen Reinstoffs sind Masse und Volumen proportional. Verdoppelt sich das Volumen, verdoppelt sich auch die Masse. Der Quotient $m/V$ bleibt gleich.
In einem Diagramm steht üblicherweise das Volumen auf der waagerechten und die Masse auf der senkrechten Achse. Die Messpunkte eines Stoffes liegen dann auf einer Geraden durch den Ursprung.
Steigung
Die Steigung gibt an, wie stark die Masse zunimmt, wenn das Volumen wächst. Im Masse-Volumen-Diagramm entspricht sie der Dichte:
$$\mathrm{Steigung}=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\rho$$
Für Aluminium können beispielsweise die Punkte $(10\,\mathrm{cm^3};27\,\mathrm{g})$ und $(20\,\mathrm{cm^3};54\,\mathrm{g})$ auf derselben Geraden liegen. Beide Quotienten ergeben $2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}$.
Eine steilere Gerade bedeutet: Bei derselben Volumenzunahme kommt mehr Masse hinzu. Der Stoff hat daher die größere Dichte.
Wann ein Dichtewert einen Stoff beschreibt
Für einen homogenen Körper aus einem einzigen Reinstoff ist die Dichte eine charakteristische Stoffeigenschaft. Eine gemessene Dichte kann deshalb zusammen mit weiteren Stoffeigenschaften bei der Stoffbestimmung helfen.
Bei einem zusammengesetzten oder hohlen Körper liefert $m/V$ dagegen eine mittlere Dichte. Sie muss nicht mit der Dichte eines einzelnen Bestandteils übereinstimmen.
Dichtewerte gelten außerdem nur unter bestimmten Bedingungen:
- Temperaturänderungen können das Volumen und damit die Dichte verändern.
- Bei Gasen beeinflusst der Druck die Dichte besonders stark.
- Deshalb gehört zu einem genauen Stoffwert eine Angabe der Temperatur und bei Bedarf des Drucks.
Die Einheiten lassen sich umrechnen:
$$1\,\mathrm{g/cm^3}=1000\,\mathrm{kg/m^3}$$
$$1\,\mathrm{g/l}=1\,\mathrm{kg/m^3}$$
Masse und Gewichtskraft sind ebenfalls nicht dasselbe. Die Masse ist ortsunabhängig. Die Gewichtskraft hängt davon ab, wie stark die Schwerkraft am jeweiligen Ort wirkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dichte
- Bedeutung: Masse pro Volumen
- Formel: $\rho=m/V$
- Einheiten: $\mathrm{g/cm^3}$ und $\mathrm{kg/m^3}$
- Bestimmung
- Masse mit einer Waage
- Volumen durch Geometrie oder Verdrängung
- Auswertung
- Stoffe vergleichen
- Diagrammsteigung deuten
- Bedingungen beachten
- Grenzen
- Temperatur und Druck
- mittlere Dichte bei zusammengesetzten Körpern
Abschluss-Check
Du beherrschst das Thema, wenn du zuerst Masse und Volumen sicher zuordnest, passende Einheiten verwendest und anschließend entscheidest, ob du $\rho$, $m$ oder $V$ berechnen musst.