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Volumen verstehen, messen und berechnen
Das Volumen gibt an, wie viel dreidimensionalen Raum ein Körper oder eine Flüssigkeit einnimmt. Du kannst es je nach Gegenstand berechnen, direkt ablesen oder durch Wasserverdrängung bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt das Volumen?
Ein Gegenstand dehnt sich in drei Raumrichtungen aus. Das Volumen beschreibt den Raum, den er dabei einnimmt. Sein Formelzeichen ist $V$.
Volumen
Das Volumen ist die Größe des dreidimensionalen Raums, den ein Körper oder eine Flüssigkeit einnimmt. Die SI-Einheit ist der Kubikmeter $\mathrm{m^3}$.
Ein Kubikmeter ist das Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von $1\,\mathrm m$. Weil Volumen drei Raumrichtungen umfasst, tragen Volumeneinheiten die Hochzahl 3: zum Beispiel $\mathrm{cm^3}$ statt $\mathrm{cm^2}$.
Auch Liter und Milliliter sind Volumeneinheiten. Es gilt:
- $1\,\mathrm{m^3}=1\,000\,\mathrm l$
- $1\,\mathrm l=1\,000\,\mathrm{ml}$
- $1\,\mathrm l=1\,000\,\mathrm{cm^3}$
- $1\,\mathrm{ml}=1\,\mathrm{cm^3}$
Wie wird Volumen gemessen?
Die passende Methode hängt davon ab, was du untersuchst:
- Bei einer Flüssigkeit liest du das Volumen an der Skala eines Messzylinders ab.
- Bei einem regelmäßigen Festkörper misst du seine Abmessungen und verwendest die passende Körperformel.
- Bei einem unregelmäßigen Festkörper kannst du die Verdrängung von Wasser nutzen.
In einem Messzylinder stehen zunächst $120\,\mathrm{cm^3}$ Wasser. Nach dem vollständigen Eintauchen eines Steins zeigt die Skala $167\,\mathrm{cm^3}$ an.
Das Steinvolumen ist die Zunahme des abgelesenen Volumens:
$$V=167\,\mathrm{cm^3}-120\,\mathrm{cm^3}=47\,\mathrm{cm^3}$$
Der Stein hat also ein Volumen von $47\,\mathrm{cm^3}$.
Bei der Verdrängungsmethode gilt: Volumen des Körpers = Endstand minus Anfangsstand.
Wie rechnest du Volumeneinheiten um?
Zwischen benachbarten metrischen Volumeneinheiten liegt der Faktor $1\,000$:
$$1\,\mathrm{m^3}=1\,000\,\mathrm{dm^3}$$
$$1\,\mathrm{dm^3}=1\,000\,\mathrm{cm^3}$$
Der Faktor entsteht, weil eine Längenumrechnung in drei Raumrichtungen wirkt. Aus $1\,\mathrm m=10\,\mathrm{dm}$ folgt:
$$1\,\mathrm{m^3}=10\cdot10\cdot10\,\mathrm{dm^3}=1\,000\,\mathrm{dm^3}$$
Beim Umrechnen in die nächstkleinere Kubikeinheit multiplizierst du mit $1\,000$. In die nächstgrößere Kubikeinheit teilst du durch $1\,000$.
Eine Längeneinheit und eine Volumeneinheit dürfen nicht verwechselt werden. $10\,\mathrm{cm}$ ist eine Länge; $10\,\mathrm{cm^3}$ ist ein Volumen.
Wie berechnest du regelmäßige Körper?
Wähle zuerst die Formel, die zur Form des Körpers passt. Bringe danach alle Längen in dieselbe Einheit.
- Quader: $V=a\cdot b\cdot h$
- Prisma: $V=G\cdot h$
- Zylinder: $V=\pi r^2h$
- Pyramide: $V=\frac{G\cdot h}{3}$
- Kugel: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
Dabei bezeichnet $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche, $h$ die senkrechte Höhe und $r$ den Radius.
Ein quaderförmiges Aquarium ist innen $80\,\mathrm{cm}$ lang, $35\,\mathrm{cm}$ breit und $40\,\mathrm{cm}$ hoch.
- Die Form ist ein Quader. Deshalb gilt $V=a\cdot b\cdot h$.
- Alle Maße stehen bereits in Zentimetern.
- Einsetzen und rechnen:
$$V=80\,\mathrm{cm}\cdot35\,\mathrm{cm}\cdot40\,\mathrm{cm}=112\,000\,\mathrm{cm^3}$$
- In Liter umrechnen:
$$112\,000\,\mathrm{cm^3}\div1\,000=112\,\mathrm l$$
Das Aquarium hat rechnerisch ein Innenvolumen von $112\,\mathrm l$.
Form erkennen, Maße vereinheitlichen, Formel einsetzen, rechnen und zum Schluss Einheit sowie Größenordnung prüfen.
Wie hängen Volumen, Masse und Dichte zusammen?
Die Masse beschreibt die Menge an Materie und wird meist in Kilogramm oder Gramm angegeben. Die Dichte $\rho$ gibt an, wie viel Masse auf ein bestimmtes Volumen entfällt.
$$\rho=\frac{m}{V}$$
Daraus folgen zwei weitere Rechenformen:
$$m=V\cdot\rho$$
$$V=\frac{m}{\rho}$$
Gleich große Körper können verschiedene Massen haben, wenn sie aus Stoffen mit unterschiedlicher Dichte bestehen. Deshalb können etwa ein Metallwürfel und ein gleich großer Holzwürfel trotz gleichen Volumens verschieden schwer sein.
Bei jeder Rechnung müssen die Einheiten zusammenpassen. Verwendest du die Dichte in $\mathrm{kg/m^3}$, brauchst du das Volumen in $\mathrm{m^3}$, damit die Masse in Kilogramm entsteht.
Ein Körper hat eine Masse von $900\,\mathrm{kg}$ und eine Dichte von $300\,\mathrm{kg/m^3}$. Gesucht ist sein Volumen.
$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{900\,\mathrm{kg}}{300\,\mathrm{kg/m^3}}=3\,\mathrm{m^3}$$
Die Einheiten bestätigen das Ergebnis: Kilogramm geteilt durch Kilogramm je Kubikmeter ergibt Kubikmeter.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Volumen
- Bedeutung: eingenommener dreidimensionaler Raum
- Einheiten: Kubikmeter, Kubikzentimeter, Liter und Milliliter
- Messung: Messzylinder oder Wasserverdrängung
- Berechnung: passende Formel für regelmäßige Körper
- Mischkörper: Teilvolumina addieren oder Aussparungen abziehen
- Zusammenhang: Dichte ist Masse geteilt durch Volumen
- Kontrolle: Einheiten und Größenordnung prüfen
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Volumenaufgabe abschließend drei Fragen: Passt die Formel zur Form? Stimmen die Einheiten überein? Ist das Ergebnis für den Gegenstand plausibel?