Elektromagnetische Schwingungen im LC-Kreis

Ein einfacher Schwingkreis besteht aus einem Kondensator mit der Kapazität $C$ und einer Spule mit der Induktivität $L$. Das Kürzel LC setzt sich aus den Formelzeichen der beiden Bauteile zusammen.

Der Kondensator wird zunächst mit einer elektrischen Quelle auf die Anfangsspannung $U_0$ geladen. Zwischen seinen Platten befindet sich dann ein elektrisches Feld. Wird die Quelle getrennt und der Kondensator mit der Spule zu einem geschlossenen Stromkreis verbunden, beginnt die Schwingung.

Betrachte zunächst den idealen Fall ohne elektrischen Widerstand:

1. Der geladene Kondensator besitzt elektrische Feldenergie. Es fließt noch kein Strom.
2. Der Kondensator entlädt sich durch die Spule. Die Stromstärke wächst und in der Spule entsteht ein Magnetfeld.
3. Nach einer Viertelperiode ist der Kondensator entladen. Die Stromstärke und die magnetische Feldenergie sind maximal.
4. Das Magnetfeld nimmt anschließend ab. Dabei wird eine Spannung induziert, die den Strom zunächst in derselben Richtung aufrechterhält.
5. Der Kondensator lädt sich mit umgekehrter Polung auf. Nach einer halben Periode ist seine elektrische Feldenergie wieder maximal, aber seine Polung ist vertauscht.
6. Der Vorgang wiederholt sich in umgekehrter Richtung. Nach einer ganzen Periode ist der Anfangszustand erreicht.

Im idealen LC-Kreis verläuft die Kondensatorspannung harmonisch, also in Form einer Kosinuskurve:

$$U_C(t)=|U_0|\cos(\omega_0 t)$$

Dabei ist $\omega_0$ die Kreisfrequenz des idealen Schwingkreises:

$$\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

Da für den Kondensator $Q=C\cdot U_C$ gilt, haben Kondensatorladung $Q$ und Kondensatorspannung $U_C$ denselben zeitlichen Verlauf. Ist die Spannung maximal, ist auch der Betrag der Ladung maximal.

Die Stromstärke beschreibt, wie schnell sich die Ladung ändert: $I=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}$. Für $Q(t)=Q_0\cos(\omega_0t)$ ergibt sich bei passender Festlegung der positiven Stromrichtung:

$$I(t)=-\omega_0Q_0\sin(\omega_0t)$$

Deshalb sind Ladung und Stromstärke um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben:

• Bei $t=0$ ist $Q$ maximal und $I=0$.
• Bei $t=\frac{T}{4}$ ist $Q=0$ und der Betrag von $I$ maximal.
• Bei $t=\frac{T}{2}$ ist $Q$ in umgekehrter Richtung maximal und $I=0$.
• Bei $t=T$ ist der Anfangszustand wieder erreicht.

Die Schwingungsdauer $T$ gibt an, wie lange ein vollständiger Schwingungszyklus dauert. Für den idealen LC-Kreis gilt die Thomson-Formel:

$$T=2\pi\sqrt{LC}$$

Die Frequenz $f$ nennt die Anzahl vollständiger Schwingungen pro Sekunde:

$$f=\frac{1}{T}$$

Die Einheit von $T$ ist die Sekunde $(\mathrm s)$, die Einheit von $f$ das Hertz $(\mathrm{Hz})$.

Aus der Thomson-Formel kannst du außerdem vorhersagen:

• Wird $L$ größer, wächst $T$ und die Schwingung wird langsamer.
• Wird $C$ größer, wächst ebenfalls $T$.
• Weil $L$ und $C$ unter einer Quadratwurzel stehen, verdoppelt eine Verdopplung von $L$ die Schwingungsdauer nicht.

Ein realer Schwingkreis besitzt einen elektrischen Widerstand $R$. Dadurch nimmt die Schwingungsenergie mit der Zeit ab. Die Ausschläge von Ladung, Spannung und Stromstärke werden kleiner: Die Schwingung ist gedämpft.

Für die Ladung gilt im gedämpften, nicht von außen angetriebenen RLC-Kreis:

$$L\ddot Q+R\dot Q+\frac{Q}{C}=0$$

$\dot Q$ bezeichnet die erste zeitliche Ableitung der Ladung und entspricht der Stromstärke. $\ddot Q$ beschreibt deren zeitliche Änderung.

Wird zusätzlich eine zeitlich veränderliche äußere Spannung $U(t)$ angelegt, ist die Schwingung angeregt beziehungsweise erzwungen:

$$U(t)=L\ddot Q+R\dot Q+\frac{Q}{C}$$

Die äußere Spannungsquelle kann dem Kreis fortlaufend Energie zuführen. Das unterscheidet die Anregung von der bloßen Anfangsladung des Kondensators.

Eine elektromagnetische Schwingung ist zunächst ein zeitlich periodischer Vorgang, etwa im LC-Kreis. Ladung, Spannung, Stromstärke sowie elektrische und magnetische Felder ändern sich dabei mit der Zeit.

Bei einer Wechselstromversorgung wird dem Stromkreis eine äußere, zeitlich veränderliche Spannung vorgegeben. Sie kann einen Schwingkreis anregen, ist aber nicht dasselbe wie seine freie Eigenschwingung nach einer einmaligen Anfangsladung.

Eine elektromagnetische Welle liegt vor, wenn sich die elektromagnetische Schwingung im Raum ausbreitet. Der LC-Kreis beschreibt dagegen zunächst einen lokalen Schwingungsvorgang.

Prüfe deinen Lernstand: Kannst du den Energieaustausch über eine ganze Periode erklären, die Phasenlage von $Q$ und $I$ begründen und mit $T=2\pi\sqrt{LC}$ eine neue Schaltung untersuchen? Dann beherrschst du den Kern des LC-Schwingkreises.