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Kondensator: Kapazität, Energie und RC-Kreis
Ein Kondensator trennt elektrische Ladungen und speichert dadurch Energie in einem elektrischen Feld. Wie viel Ladung er bei einer bestimmten Spannung aufnimmt, beschreibt seine Kapazität.
Auf dieser Seite lernst du zuerst das Grundmodell kennen. Danach berechnest du Ladung, Feldstärke und Energie. Zum Schluss untersuchst du als Vertiefung das zeitabhängige Laden und Entladen in einem RC-Kreis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie speichert ein Kondensator Ladung?
Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Elektroden, die sich nicht berühren. Zwischen ihnen liegt ein elektrisch isolierendes Material, das Dielektrikum. Das kann zum Beispiel Luft, Kunststoff, Glas oder Keramik sein.
Das einfachste Modell ist der Plattenkondensator mit zwei gegenüberliegenden Metallplatten. Reale Kondensatoren verwenden häufig gestapelte oder aufgewickelte Folien, damit eine große Elektrodenfläche in ein kleines Gehäuse passt.
Beim Anschluss an eine Gleichspannungsquelle geschieht Folgendes:
- Vom Leiter am Pluspol fließen Elektronen ab. Er erhält die positive Nettoladung $+Q$.
- Zum Leiter am Minuspol fließen Elektronen hin. Er erhält die negative Nettoladung $-Q$.
- Die beiden Ladungen sind entgegengesetzt, aber betragsgleich.
- Zwischen den Elektroden entstehen ein elektrisches Feld und eine Kondensatorspannung.
- Sobald die Kondensatorspannung der Quellenspannung entspricht, endet der Ladestrom im idealen Gleichstromkreis.
Nach dem Trennen von der Quelle können Ladung, Spannung und Energie zunächst erhalten bleiben. Ein angeschlossener Verbraucher entlädt den Kondensator wieder.
Ein Kondensator wird nicht deshalb „voll“, weil auf einer Platte kein Platz mehr wäre. Der ideale Ladevorgang endet, weil die Kondensatorspannung die angelegte Quellenspannung erreicht.
Ein Kondensator kann auch nach dem Trennen von einer Spannungsquelle gefährlich geladen sein. Berühre niemals die Anschlüsse eines unbekannten, größeren oder zuvor an Netzspannung betriebenen Kondensators. Sichere Prüf- und Entladeverfahren gehören in fachkundige Hände.
Was bedeutet Kapazität?
Die Kapazität $C$ gibt an, wie viel Ladungsbetrag $Q$ ein Kondensator bei einer Spannung $U$ speichert:
$$Q=C\,U$$
Daraus folgen die umgestellten Gleichungen:
$$C=\frac{Q}{U}$$
$$U=\frac{Q}{C}$$
Die Einheit der Kapazität ist Farad mit dem Einheitenzeichen $\mathrm F$:
$$1\,\mathrm F=1\,\frac{\mathrm C}{\mathrm V}$$
Dabei steht $\mathrm C$ als Einheit für Coulomb. Das Formelzeichen $C$ bezeichnet dagegen die Kapazität. Den Unterschied erkennst du am Zusammenhang.
Häufige Untereinheiten sind:
- $1\,\mu\mathrm F=10^{-6}\,\mathrm F$
- $1\,\mathrm{nF}=10^{-9}\,\mathrm F$
- $1\,\mathrm{pF}=10^{-12}\,\mathrm F$
Ein Kondensator besitzt $C=470\,\mathrm{nF}$ und liegt an $U=12\,\mathrm V$.
Zuerst wandelst du die Kapazität um:
$$470\,\mathrm{nF}=470\cdot10^{-9}\,\mathrm F$$
Dann berechnest du den Ladungsbetrag:
$$Q=C\,U$$
$$Q=470\cdot10^{-9}\,\mathrm F\cdot12\,\mathrm V$$
$$Q=5{,}64\cdot10^{-6}\,\mathrm C=5{,}64\,\mu\mathrm C$$
Der Kondensator trägt auf seinen Elektroden die Ladungen $+5{,}64\,\mu\mathrm C$ und $-5{,}64\,\mu\mathrm C$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einem festen Kondensator gilt: Verdoppelt sich die Spannung, dann sich der Ladungsbetrag. Der Quotient $Q/U$ bleibt dabei . Die Einheit der Kapazität ist .
Wovon hängt die Kapazität ab?
Für einen idealisierten Plattenkondensator gilt näherungsweise:
$$C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}$$
Die Größen bedeuten:
- $\varepsilon_0$: elektrische Feldkonstante,
- $\varepsilon_r$: relative Permittivität des Dielektrikums,
- $A$: wirksame Fläche einer Platte,
- $d$: Abstand der Platten.
Aus der Formel kannst du die Einflüsse direkt ablesen:
- Eine größere Fläche $A$ erhöht die Kapazität.
- Ein Dielektrikum mit größerem $\varepsilon_r$ erhöht die Kapazität.
- Ein größerer Abstand $d$ verringert die Kapazität.
Der Plattenabstand wird verdoppelt. Fläche und Dielektrikum bleiben unverändert.
Weil $d$ im Nenner steht, gilt:
$$C'=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{2d}=\frac{C}{2}$$
Die Kapazität halbiert sich. Bei unveränderter Spannung halbiert sich nach $Q=C\,U$ auch der gespeicherte Ladungsbetrag.
Bei sonst gleichen Bedingungen gilt: mehr Fläche bedeutet mehr Kapazität, mehr Abstand bedeutet weniger Kapazität.
Die Plattenformel ist ein Modell. Sie setzt parallele Platten und einen im Vergleich zu den Plattenabmessungen kleinen Abstand voraus. Seitlich austretende Randfelder werden vernachlässigt.
Wie berechnest du Feldstärke und Energie?
Zwischen den Platten eines idealisierten Plattenkondensators ist das elektrische Feld näherungsweise homogen. Seine Feldstärke beträgt:
$$E_\mathrm{Feld}=\frac{U}{d}$$
Die Einheit ist Volt pro Meter $(\mathrm{V/m})$. Eine größere Spannung verstärkt das Feld; ein größerer Plattenabstand schwächt es bei gleicher Spannung.
Die gespeicherte elektrische Energie bezeichnen wir mit $W$. So wird sie nicht mit dem Formelzeichen der Feldstärke verwechselt:
$$W=\frac12 Q U$$
Mit $Q=C\,U$ erhältst du außerdem:
$$W=\frac12 C U^2$$
Die Einheit der Energie ist Joule $(\mathrm J)$.
Warum erscheint der Faktor $1/2$? Während des Ladens steigt die Kondensatorspannung von null bis $U$. Die Ladung wird daher im Mittel gegen die Spannung $U/2$ verschoben.
Für den Kondensator mit $C=470\,\mathrm{nF}$ und $U=12\,\mathrm V$ gilt:
$$W=\frac12 C U^2$$
$$W=\frac12\cdot470\cdot10^{-9}\,\mathrm F\cdot(12\,\mathrm V)^2$$
$$W=33{,}84\cdot10^{-6}\,\mathrm J=33{,}84\,\mu\mathrm J$$
Die Energie beträgt $33{,}84\,\mu\mathrm J$. Die Einheit und die Größenordnung passen: Eine Kapazität im Nanofaradbereich speichert bei $12\,\mathrm V$ nur eine kleine Energiemenge.
Vertiefung: Wie verlaufen Laden und Entladen?
Wird ein Kondensator über einen Widerstand $R$ geladen oder entladen, ändern sich Spannung und Strom nicht sprunghaft bis zum Endwert. Ihre Geschwindigkeit wird durch die Zeitkonstante bestimmt:
$$\tau=R\,C$$
Die Einheit von $\tau$ ist die Sekunde. Ein größeres $R$ oder ein größeres $C$ macht den Vorgang langsamer.
Beim Laden eines anfangs ungeladenen Kondensators an der Spannung $U_0$ gilt:
$$U_C(t)=U_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$
$$I(t)=\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau}$$
Die Kondensatorspannung steigt, während der Ladestrom fällt. Nach einer Zeitkonstante gilt näherungsweise:
- $U_C(\tau)=0{,}632\,U_0$,
- $I(\tau)=0{,}368\,I_0$.
Beim Entladen gilt für den Betrag der Spannung:
$$U_C(t)=U_0e^{-t/\tau}$$
Nach einer Zeitkonstante sind noch etwa $36{,}8\,\%$ der Anfangsspannung vorhanden. Nach ungefähr $5\tau$ gilt der Kondensator praktisch als geladen beziehungsweise entladen, obwohl die mathematische Kurve ihren Grenzwert nur asymptotisch erreicht.
Für $R=10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C=100\,\mu\mathrm F$ ergibt sich:
$$\tau=R\,C$$
$$\tau=10\,000\,\Omega\cdot100\cdot10^{-6}\,\mathrm F=1\,\mathrm s$$
Beim Laden sind nach $1\,\mathrm s$ etwa $63{,}2\,\%$ der Endspannung erreicht. Nach ungefähr $5\,\mathrm s$ ist der Kondensator praktisch vollständig geladen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kondensator
- Aufbau: zwei Elektroden und ein Dielektrikum
- Aufladung: entgegengesetzte, betragsgleiche Ladungen
- Kapazität: $Q=C\,U$
- Plattenmodell: $C=\varepsilon_0\varepsilon_r A/d$
- Feldstärke: $E_\mathrm{Feld}=U/d$
- Energie: $W=\frac12 CU^2$
- RC-Kreis: Zeitkonstante $\tau=RC$
- Sicherheit: Ladung kann nach dem Trennen erhalten bleiben
Abschluss-Check
Du kannst einen Kondensator nun über vier klar getrennte Größen beschreiben: Kapazität $C$, Ladungsbetrag $Q$, Spannung $U$ und Energie $W$. Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst, welche Größe gesucht ist, welche Bedingungen konstant bleiben und ob das ideale Modell anwendbar ist.