Gedämpfte Schwingung: Fälle und Berechnung

Lenkst du ein Federpendel aus und lässt es los, tauschen sich zunächst Bewegungsenergie und Spannenergie der Feder aus. Reibung wandelt jedoch einen Teil dieser mechanischen Energie beispielsweise in Wärme um.

Die momentane Entfernung von der Ruhelage heißt Auslenkung oder Elongation $x(t)$. Der größte Betrag der Auslenkung innerhalb einer Schwingung ist die Amplitude $A$.

Dämpfung bedeutet nicht einfach, dass die Schwingung langsamer wird. Ihr wichtigstes Kennzeichen ist die mit der Zeit abnehmende Amplitude.

Wir betrachten eine Masse $m$ an einer Feder mit Federkonstante $k$. Die Federkraft ist proportional zur Auslenkung und zeigt zurück zur Ruhelage:

$$F_\mathrm{F}=-kx$$

Für eine lineare Dämpfung wird angenommen, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit $\dot x$ ist und ihr entgegenwirkt:

$$F_\mathrm{R}=-d\dot x$$

Dabei ist $d$ die Dämpfungskonstante. Dieses Modell passt nicht zu jeder realen Reibung, ist aber für viele Berechnungen eine nützliche Näherung.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt:

$$m\ddot x=-kx-d\dot x$$

Alle Terme auf eine Seite gebracht und durch $m$ geteilt ergeben:

$$\ddot x+\frac{d}{m}\dot x+\frac{k}{m}x=0$$

Mit der Abklingkonstante

$$\delta=\frac{d}{2m}$$

und der ungedämpften Eigenkreisfrequenz

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

wird daraus die übersichtliche Normalform:

$$\ddot x+2\delta\dot x+\omega_0^2x=0$$

Im Schwingfall lässt sich die Auslenkung in der Form

$$x(t)=A_0e^{-\delta t}\cos(\omega_dt+\varphi_0)$$

schreiben. $A_0$ und $\varphi_0$ werden durch Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit festgelegt.

Der Kosinus beschreibt das Hin und Her. Der Faktor

$$A(t)=A_0e^{-\delta t}$$

bildet die abnehmende Hüllkurve der Amplitude. Weil $\delta$ die Einheit $\mathrm{s}^{-1}$ besitzt, ist der Exponent $-\delta t$ einheitenlos.

Die gedämpfte Kreisfrequenz lautet:

$$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}$$

Daraus folgen Periodendauer und Frequenz:

$$T_d=\frac{2\pi}{\omega_d},\qquad f_d=\frac{\omega_d}{2\pi}$$

Da $\omega_d<\omega_0$ gilt, ist die gedämpfte Schwingung etwas langsamer als die ungedämpfte. Bei schwacher Dämpfung ist der Unterschied klein.

Da die mechanische Energie bei einem linearen Schwinger proportional zum Quadrat der Amplitude ist, nimmt sie im Modell mit dem Faktor $e^{-2\delta t}$ ab.

Welche Bewegung entsteht, entscheidet der Vergleich zwischen $\delta$ und $\omega_0$.

Schwingfall: $\delta<\omega_0$

Die Masse überquert die Ruhelage wiederholt. Ihre Amplitude nimmt dabei exponentiell ab. Die gedämpfte Kreisfrequenz $\omega_d$ ist reell und kleiner als $\omega_0$.

Aperiodischer Grenzfall: $\delta=\omega_0$

Das System schwingt nicht periodisch. Seine allgemeine Bewegung hat die Form

$$x(t)=e^{-\delta t}(C_1+C_2t)$$

Der Grenzfall ermöglicht die schnellste Rückkehr zur Ruhelage ohne Nachschwingen. Je nach Anfangsbedingungen kann einmaliges Überschwingen auftreten.

Kriechfall: $\delta>\omega_0$

Die charakteristischen Größen

$$\lambda_{1,2}=-\delta\pm\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$$

sind reell. Die Bewegung setzt sich aus zwei abklingenden Exponentialtermen zusammen. Das System kehrt ohne periodische Schwingung zurück, aber langsamer als im aperiodischen Grenzfall.

Im Schwingfall kannst du aufeinanderfolgende Maximalamplituden $A_n$ und $A_{n+1}$ vergleichen. Liegt zwischen ihnen eine Periodendauer $T_d$, gilt:

$$q=\frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{\delta T_d}$$

Daraus folgt:

$$\delta=\frac{\ln q}{T_d}$$

Der natürliche Logarithmus des Verhältnisses heißt logarithmisches Dekrement:

$$\Lambda=\ln q=\delta T_d$$

Alternativ kannst du mehrere Messwerte linearisieren:

$$\ln A(t)=-\delta t+\ln A_0$$

In einem Diagramm von $\ln A$ gegen $t$ sollten die Punkte daher annähernd auf einer Geraden liegen. Ihre Steigung ist $-\delta$.

Die passende Dämpfung hängt von der Aufgabe eines Systems ab.

• Ein schwach gedämpftes Trommelfell soll nach einem Anschlag noch hörbar schwingen.
• Eine Fahrzeugfederung soll Unebenheiten ausgleichen, aber nicht lange nachschwingen. Deshalb wird eine Dämpfung nahe dem aperiodischen Grenzfall angestrebt.
• Ein stark gedämpfter Anzeigezeiger reagiert ruhig, erreicht seinen neuen Wert aber nur langsam.