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Mechanische Schwingungen einfach erklärt
Eine mechanische Schwingung ist eine wiederholte Hin-und-her-Bewegung um eine stabile Gleichgewichtslage. Auslenkung, Rückstellkraft und Trägheit sorgen gemeinsam dafür, dass sich die Bewegung wiederholt.
Hier lernst du, Schwingungen zu erkennen, ihre Kenngrößen aus Messwerten und Diagrammen zu bestimmen und einfache harmonische Schwinger zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine mechanische Schwingung erkennen
Stell dir eine Masse an einer Feder vor. Du ziehst sie aus ihrer Ruhelage und lässt sie los. Die Feder beschleunigt die Masse zurück. Wegen ihrer Trägheit bleibt die Masse in Bewegung, überschreitet die Ruhelage und erreicht auf der anderen Seite einen Umkehrpunkt. Dann beginnt der Ablauf in Gegenrichtung.
Gleichgewichtslage
Die Gleichgewichtslage ist die Lage, in der sich die wirkenden Kräfte ausgleichen. Eine kleine Auslenkung erzeugt bei einem stabilen Gleichgewicht eine Kraft zurück zu dieser Lage.
Für eine Schwingung werden drei Dinge benötigt:
- ein schwingungsfähiger Körper oder ein schwingungsfähiges System,
- eine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage,
- eine rücktreibende Kraft.
Eine ideale Schwingung ist periodisch: Nach gleich langen Zeitabständen kehrt derselbe Bewegungszustand wieder. Dazu gehören nicht nur derselbe Ort, sondern auch dieselbe Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit.
Eine Bewegung durch die Ruhelage und zurück reicht noch nicht. Erst die wiederholte Hin-und-her-Bewegung um die Gleichgewichtslage ist eine Schwingung.
Amplitude, Periodendauer und Frequenz bestimmen
Die Bewegung lässt sich mit drei grundlegenden Größen beschreiben.
Auslenkung und Amplitude
Die Auslenkung $x$ gibt den momentanen Abstand von der Gleichgewichtslage mit Vorzeichen an. Die Amplitude $\hat{x}$ ist der Betrag der größten Auslenkung. Sie wird an den Umkehrpunkten erreicht.
Periodendauer und Frequenz
Die Periodendauer $T$ ist die Zeit für eine vollständige Schwingung. Die Frequenz $f$ gibt die Zahl der Schwingungen pro Sekunde an. Ihre Einheit ist Hertz: $1\,\mathrm{Hz}=1/\mathrm{s}$.
Beide Größen sind Kehrwerte:
$$f=\frac{1}{T} \qquad\text{und}\qquad T=\frac{1}{f}$$
Messwerte zuverlässig auswerten
Miss möglichst mehrere Schwingungen. Dadurch wirkt sich ein kleiner Fehler beim Starten oder Stoppen weniger stark aus.
Eine Feder führt in $12\,\mathrm{s}$ genau 8 vollständige Schwingungen aus. Die äußersten Auslenkungen liegen bei $+4\,\mathrm{cm}$ und $-4\,\mathrm{cm}$.
- Die Amplitude ist der größte Abstand von der Ruhelage: $\hat{x}=4\,\mathrm{cm}$.
- Die Periodendauer erhältst du aus Gesamtzeit geteilt durch Schwingungszahl:
$$T=\frac{12\,\mathrm{s}}{8}=1{,}5\,\mathrm{s}$$
- Daraus folgt die Frequenz:
$$f=\frac{1}{1{,}5\,\mathrm{s}}=0{,}67\,\mathrm{Hz}$$
Das System führt also ungefähr $0{,}67$ Schwingungen pro Sekunde aus.
Ein Auslenkung-Zeit-Diagramm lesen
In einem Auslenkung-Zeit-Diagramm steht die Zeit auf der waagerechten und die Auslenkung auf der senkrechten Achse. Die Amplitude liest du als größten Abstand zur Nulllinie ab. Die Periodendauer ist der waagerechte Abstand zwischen zwei gleichen Bewegungszuständen, zum Beispiel zwischen zwei aufeinanderfolgenden oberen Maxima.
Eine vollständige Schwingung
| 0 s | 0 cm |
|---|---|
| 0,5 s | 4 cm |
| 1,0 s | 0 cm |
| 1,5 s | -4 cm |
| 2,0 s | 0 cm |
Die Werte zeigen eine Amplitude von $4\,\mathrm{cm}$. Nach $2{,}0\,\mathrm{s}$ sind Auslenkung und Bewegungsrichtung wieder wie am Anfang. Daher gilt $T=2{,}0\,\mathrm{s}$ und $f=0{,}5\,\mathrm{Hz}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der größte Abstand von der Gleichgewichtslage heißt . Die Zeit für einen vollständigen Zyklus heißt . Bei $T=0{,}25\,\mathrm{s}$ beträgt die Frequenz .
Harmonische Schwingungen mathematisch beschreiben
Nicht jede Schwingung verläuft sinusförmig. Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die rücktreibende Kraft der Auslenkung entgegengerichtet und ihr proportional ist.
Lineares Kraftgesetz
Für ein ideales Federpendel gilt
$$F_{\mathrm{rück}}=-D x$$
$D$ ist die Federkonstante. Das Minuszeichen zeigt: Bei positiver Auslenkung wirkt die Kraft in negative Richtung und umgekehrt.
Die Auslenkung einer harmonischen Schwingung kann als Sinus- oder Kosinusfunktion geschrieben werden. Beginnt der Schwinger bei der maximalen positiven Auslenkung, ist die Kosinusform praktisch:
$$x(t)=\hat{x}\cos(\omega t)$$
Die Kreisfrequenz $\omega$ hängt mit Frequenz und Periodendauer zusammen:
$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$
Geschwindigkeit und Beschleunigung folgen aus den zeitlichen Ableitungen:
$$v(t)=-\omega\hat{x}\sin(\omega t)$$
$$a(t)=-\omega^2\hat{x}\cos(\omega t)=-\omega^2x(t)$$
Die letzte Gleichung zeigt erneut die Rückstellwirkung: Beschleunigung und Auslenkung zeigen stets in entgegengesetzte Richtungen.
Ein Schwinger startet bei $x=+\hat{x}$.
- Am positiven Umkehrpunkt gilt $x=+\hat{x}$ und $v=0$. Die Beschleunigung zeigt mit maximalem Betrag zur Ruhelage.
- Eine Viertelperiode später gilt $x=0$. Der Geschwindigkeitsbetrag ist maximal und $a=0$.
- Nach einer halben Periode gilt $x=-\hat{x}$ und wieder $v=0$.
- Nach einer ganzen Periode ist der Anfangszustand erreicht.
Der Schwinger ist also in der Ruhelage nicht in Ruhe. Gerade dort bewegt er sich am schnellsten.
Federpendel und Fadenpendel berechnen
Die Schwingungsdauer hängt vom Aufbau des Schwingers ab. Verwende eine Formel nur für das Modell, zu dem sie gehört.
Federpendel
Für eine Masse $m$ an einer idealen Feder mit Federkonstante $D$ gilt:
$$\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$$
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$$
Eine größere Masse führt zu einer längeren Periodendauer. Eine härtere Feder mit größerem $D$ führt zu einer kürzeren Periodendauer. Im idealen harmonischen Modell hängt $T$ nicht von der Amplitude ab.
An einer Feder mit $D=5\,\mathrm{N/m}$ hängt eine Masse von $m=0{,}20\,\mathrm{kg}$.
$$T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}20\,\mathrm{kg}}{5\,\mathrm{N/m}}}$$
$$T=2\pi\sqrt{0{,}04\,\mathrm{s^2}}=0{,}4\pi\,\mathrm{s}\approx1{,}26\,\mathrm{s}$$
Die Frequenz beträgt damit ungefähr
$$f=\frac{1}{1{,}26\,\mathrm{s}}\approx0{,}79\,\mathrm{Hz}$$
Die Einheiten passen: Unter der Wurzel bleibt $\mathrm{s^2}$, sodass das Ergebnis eine Zeit ist.
Fadenpendel
Für ein Fadenpendel der Länge $l$ gilt bei kleinen Auslenkungen näherungsweise:
$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
$g$ ist der Ortsfaktor. Unter dieser Bedingung hängt die Periodendauer nicht von der Pendelmasse ab. Die Formel beschreibt große Auslenkungen nicht zuverlässig.
Federpendel: Masse und Federkonstante bestimmen $T$. Fadenpendel: Länge und Ortsfaktor bestimmen $T$. Die Formeln dürfen nicht vertauscht werden.
Energie, Dämpfung und äußere Anregung erklären
Bei einer ungedämpften Schwingung bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten. Sie wechselt jedoch fortlaufend ihre Form.
- An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit null. Die potenzielle Energie ist maximal, die kinetische Energie null.
- In der Gleichgewichtslage ist der Geschwindigkeitsbetrag maximal. Dort ist die kinetische Energie maximal.
- Zwischen diesen Zuständen werden potenzielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt.
Dämpfung
Bei einer gedämpften Schwingung wird mechanische Energie beispielsweise durch Reibung in thermische Energie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben. Dadurch nimmt die Amplitude mit der Zeit ab.
Ein reales System wiederholt wegen der abnehmenden Amplitude nicht exakt denselben Zustand. Es schwingt dennoch um seine Gleichgewichtslage, solange es diese wiederholt überschreitet. Je nach Stärke der Dämpfung kann es schwingen oder ohne Überschwingen zur Gleichgewichtslage zurückkehren.
Freie und erzwungene Schwingung
Bei einer freien Schwingung wird das System einmal ausgelenkt und danach sich selbst überlassen. Seine Eigenschaften bestimmen die Eigenfrequenz. Bei einer erzwungenen Schwingung wirkt fortlaufend eine äußere Anregung; das System schwingt mit der Erregerfrequenz.
Eine einmal angeschlagene Stimmgabel ist ein Beispiel für eine freie, in der Realität gedämpfte Schwingung. Eine regelmäßig angestoßene Schaukel ist eine erzwungene Schwingung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mechanische Schwingungen
- Erkennen
- Hin und her um eine Gleichgewichtslage
- Rückstellkraft und Trägheit
- Beschreiben
- Amplitude $\hat{x}$
- Periodendauer $T$ und Frequenz $f=1/T$
- Harmonisches Modell
- Sinus- oder Kosinusverlauf
- $a=-\omega^2x$
- Einfache Schwinger
- Federpendel: Masse und Federkonstante
- Fadenpendel: Länge und Ortsfaktor
- Energie und Einflüsse
- Wechsel zwischen potenzieller und kinetischer Energie
- Dämpfung und äußere Anregung
- Erkennen
Abschluss-Check
Prüfe dich zum Schluss: Kannst du an einer neuen Bewegung zuerst entscheiden, ob sie schwingt, dann $\hat{x}$, $T$ und $f$ bestimmen und schließlich begründen, ob ein harmonisches Modell oder eine Dämpfung vorliegt? Dann hast du den Kern des Lernwegs erreicht.