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Harmonische Wellen: Größen und Wellenfunktion
Eine harmonische Welle entsteht, wenn sich eine sinus- oder kosinusförmige Schwingung räumlich ausbreitet. Jeder erfasste Punkt schwingt periodisch; weiter entfernte Punkte beginnen entsprechend der Laufzeit später und schwingen mit verschobener Phase.
Du lernst, die charakteristischen Größen einer harmonischen Welle zu verknüpfen, eine Wellenfunktion zu lesen und zwischen räumlichem Momentbild und zeitlichem Schwingungsverlauf zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie wird aus einer Schwingung eine Welle?
Eine Schwingung ist die zeitlich wiederkehrende Bewegung eines Punktes um seine Gleichgewichtslage. Eine Welle entsteht, wenn sich diese Bewegung durch die Kopplung benachbarter Punkte räumlich fortpflanzt.
Harmonische Welle
Eine harmonische Welle ist eine räumlich fortschreitende Schwingung, deren Auslenkung sich mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben lässt.
Die Punkte des Mediums bewegen sich dabei nicht zusammen mit dem Wellenberg durch den gesamten Raum. Sie schwingen an ihrem jeweiligen Ort. Die Störung und die mit ihr verbundene Energie breiten sich dagegen mit der Wellengeschwindigkeit aus.
Bei einer Querwelle auf einem Seil kann sich die Störung beispielsweise entlang der $x$-Achse bewegen, während die Seilpunkte senkrecht dazu in $y$-Richtung schwingen.
Lokale Schwingung und räumliche Ausbreitung sind nicht dasselbe: Ein Punkt schwingt an seinem Ort, während sich der Wellenzustand von Ort zu Ort fortpflanzt.
Welche Größen beschreiben die Welle?
Die Amplitude $A$ ist der größte Betrag der Auslenkung. Die Auslenkung liegt somit zwischen $-A$ und $+A$.
Die Periodendauer $T$ gibt an, wie lange eine vollständige Schwingung dauert. Die Frequenz $f$ nennt die Anzahl vollständiger Schwingungen pro Sekunde:
$$f=\frac{1}{T}$$
Ihre Einheit ist Hertz: $1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}$.
Die Wellenlänge $\lambda$ ist der Abstand zweier benachbarter Punkte gleicher Phase, etwa zweier aufeinanderfolgender Wellenberge. Während einer Periodendauer legt die Welle genau eine Wellenlänge zurück. Daher gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$:
$$c=\frac{\lambda}{T}=\lambda f$$
Die Kreisfrequenz $\omega$ und die Kreiswellenzahl $k$ beschreiben die zeitliche beziehungsweise räumliche Änderung der Phase:
$$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$
$$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$
Damit folgt auch:
$$c=\frac{\omega}{k}$$
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| $A$ | maximale Auslenkung | abhängig von der Auslenkungsgröße |
| $T$ | Dauer einer Schwingung | $\mathrm{s}$ |
| $f$ | Schwingungen pro Sekunde | $\mathrm{Hz}$ |
| $\lambda$ | räumliche Periode | $\mathrm{m}$ |
| $\omega$ | zeitliche Phasenänderung | $\mathrm{s}^{-1}$ |
| $k$ | räumliche Phasenänderung | $\mathrm{m}^{-1}$ |
| $c$ | Ausbreitungsgeschwindigkeit | $\mathrm{m/s}$ |
Gegeben sind $\lambda=0{,}50\,\mathrm{m}$ und $T=0{,}25\,\mathrm{s}$. Der Zusammenhang lautet $c=\lambda/T$:
$$c=\frac{0{,}50\,\mathrm{m}}{0{,}25\,\mathrm{s}}=2{,}0\,\mathrm{m/s}$$
Die Welle breitet sich mit $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ aus. Das Ergebnis ist plausibel: In einer Sekunde vergehen vier Perioden, also werden vier Wellenlängen beziehungsweise $2{,}0\,\mathrm{m}$ zurückgelegt.
Wie liest du die Wellenfunktion?
Eine mögliche Funktion für eine in positive $x$-Richtung laufende harmonische Welle lautet:
$$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi_0)$$
Dabei bedeuten:
- $y(x,t)$: Auslenkung am Ort $x$ zur Zeit $t$,
- $A$: Amplitude,
- $kx-\omega t+\varphi_0$: Phase,
- $\varphi_0$: konstante Anfangsphase.
Die Phase muss dimensionslos sein. Deshalb gleichen sich in $kx$ die Einheiten $\mathrm{m}^{-1}$ und $\mathrm{m}$ aus. Entsprechend gleichen sich in $\omega t$ die Einheiten $\mathrm{s}^{-1}$ und $\mathrm{s}$ aus.
Dieselbe Laufrichtung kann auch mit einer anders angeordneten Sinusfunktion beschrieben werden:
$$y(x,t)=A\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\right)$$
Die beiden Schreibweisen unterscheiden sich durch die Wahl der Phase. Entscheidend für die Laufrichtung ist die relative Vorzeichenlage von Orts- und Zeitterm:
- verschiedene Vorzeichen: Ausbreitung in positive $x$-Richtung;
- gleiche Vorzeichen: Ausbreitung in negative $x$-Richtung.
Diese Regel gilt unabhängig davon, ob Sinus oder Kosinus verwendet wird.
Ein Punkt fester Phase macht die Laufrichtung sichtbar. Für $kx-\omega t=\text{konstant}$ muss $x$ bei zunehmendem $t$ größer werden. Die Phase bewegt sich daher in positive $x$-Richtung.
Was zeigen Momentbild und Zeitverlauf?
Eine Wellenfunktion hängt von Ort und Zeit ab. Für eine zweidimensionale Zeichnung hältst du jeweils eine der beiden Variablen fest.
Momentbild: der Ort verändert sich
Setzt du einen festen Zeitpunkt $t=t_1$ ein, erhältst du $y(x,t_1)$. Das Diagramm zeigt die Auslenkung vieler Punkte an verschiedenen Orten zum selben Zeitpunkt. Auf der waagerechten Achse steht $x$; der Abstand zweier benachbarter Wellenberge ist $\lambda$.
Zeitverlauf: die Zeit verändert sich
Setzt du einen festen Ort $x=x_1$ ein, erhältst du $y(x_1,t)$. Das Diagramm zeigt die Bewegung eines einzelnen Punktes im Laufe der Zeit. Auf der waagerechten Achse steht $t$; der Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima ist $T$.
In beiden Diagrammen lässt sich die Amplitude als größter Betrag der Auslenkung ablesen. Ein räumlicher Abstand ist jedoch keine Zeitdauer.
Foto: $t$ festhalten, $\lambda$ ablesen. Film eines Punktes: $x$ festhalten, $T$ ablesen.
Punkte im Abstand einer ganzen Wellenlänge schwingen phasengleich. Ihre Phasen unterscheiden sich um $2\pi$ und ihre Auslenkungen stimmen zu jedem Zeitpunkt überein. Bei einem Abstand von $\lambda/2$ beträgt die Phasendifferenz dagegen $\pi$; die Auslenkungen haben entgegengesetzte Vorzeichen.
Wie löst du eine vollständige Wellenaufgabe?
Gegeben sind eine Amplitude von $1{,}0\,\mathrm{cm}$, eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von $7{,}5\,\mathrm{mm/s}$ und
$$\omega=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{s}^{-1}$$
Gesucht sind $T$, $f$, $\lambda$, die Wellenfunktion und der Zeitverlauf am Ort $x_1=5{,}25\,\mathrm{cm}$.
1. Einheiten vereinheitlichen
$$A=0{,}010\,\mathrm{m}$$
$$c=0{,}0075\,\mathrm{m/s}$$
$$x_1=0{,}0525\,\mathrm{m}$$
2. Periodendauer berechnen
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi/2\,\mathrm{s}^{-1}}=4{,}0\,\mathrm{s}$$
3. Frequenz bestimmen
$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{4{,}0\,\mathrm{s}}=0{,}25\,\mathrm{Hz}$$
4. Wellenlänge berechnen
$$\lambda=cT=0{,}0075\,\mathrm{m/s}\cdot4{,}0\,\mathrm{s}=0{,}030\,\mathrm{m}$$
5. Wellenfunktion für positive $x$-Richtung aufstellen
$$y(x,t)=0{,}010\,\mathrm{m}\,\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{4{,}0\,\mathrm{s}}-\frac{x}{0{,}030\,\mathrm{m}}\right)\right)$$
6. Laufzeit bis $x_1$ bestimmen
$$\Delta t=\frac{x_1}{c}=\frac{0{,}0525\,\mathrm{m}}{0{,}0075\,\mathrm{m/s}}=7{,}0\,\mathrm{s}$$
Der Punkt beginnt nach $7{,}0\,\mathrm{s}$ zu schwingen, wenn die Störung erst bei $t=0$ am Ursprung gestartet wurde. Sein Zeitverlauf ist dann:
$$y(x_1,t)=0{,}010\,\mathrm{m}\,\sin\left(2\pi\frac{t-7{,}0\,\mathrm{s}}{4{,}0\,\mathrm{s}}\right)$$
Die sinusförmige Funktion beschreibt den Punkt ab dem Eintreffen der Welle. Vorher bleibt er bei einer erst zu $t=0$ gestarteten Störung in Ruhe.
7. Ergebnis prüfen
Nach einer weiteren Sekunde, also bei $t=8{,}0\,\mathrm{s}$, ist seit dem Eintreffen ein Viertel der Periodendauer vergangen. Der Punkt besitzt deshalb die maximale positive Auslenkung $0{,}010\,\mathrm{m}$.
Vertiefung: Wie hängt die Intensität von der Welle ab?
Eine harmonische Welle transportiert Energie. Die Intensität $I$ ist die pro Zeit und Fläche transportierte Energie. Für eine harmonische Welle in einem Medium mit Massendichte $\rho$ gilt im beschriebenen Modell:
$$I=\frac{1}{2}\rho c\omega^2A^2$$
Bei gleichem Medium und gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit folgt:
$$I\propto\omega^2A^2$$
Verdoppelst du nur die Amplitude, wird die Intensität viermal so groß. Verdoppelst du nur die Kreisfrequenz, wird sie ebenfalls viermal so groß.
Welle 1 besitzt die Amplitude $2A$ und die Kreisfrequenz $\omega$. Welle 2 besitzt die Amplitude $2A$ und die Kreisfrequenz $\omega/2$.
$$I_1\propto(2A)^2\omega^2=4A^2\omega^2$$
$$I_2\propto(2A)^2\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=A^2\omega^2$$
Damit ist $I_1=4I_2$. Beide Wellen besitzen dieselbe Amplitude; die halbierte Kreisfrequenz von Welle 2 senkt ihre Intensität auf ein Viertel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Harmonische Welle
- verbindet
- lokale Schwingung
- räumliche Ausbreitung
- besitzt Größen
- Amplitude $A$
- Periodendauer $T$ und Frequenz $f$
- Wellenlänge $\lambda$ und Geschwindigkeit $c$
- wird beschrieben durch
- Phase $kx-\omega t+\varphi_0$
- $c=\lambda f=\omega/k$
- wird dargestellt als
- Momentbild bei festem $t$
- Zeitverlauf bei festem $x$
- überträgt
- Energie
- Intensität proportional zu $\omega^2A^2$
- verbindet
Abschluss-Check
Wenn du alle vier Entscheidungen begründen kannst, beherrschst du den Kern: Du verknüpfst die Wellengrößen, liest die Phase, trennst Foto und Zeitverlauf und berücksichtigst die Laufzeit bis zu einem festen Ort.