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Stehende Wellen verstehen und berechnen
Eine stehende Welle entsteht, wenn sich zwei gleichfrequente, gleich starke Wellen in entgegengesetzten Richtungen überlagern. Dabei bilden sich ortsfeste Knoten und Bäuche.
Du lernst, solche Muster zu erklären, Randbedingungen zu erkennen und zulässige Wellenlängen sowie Eigenfrequenzen zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht das stehende Muster?
Eine laufende Welle breitet sich durch ein Medium aus. Wird sie an einem Ende reflektiert, läuft eine zweite Welle zurück. Treffen beide Wellen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude aufeinander, überlagern sich ihre Auslenkungen.
Diese Überlagerung heißt Interferenz:
- Gleichgerichtete Auslenkungen verstärken sich.
- Entgegengesetzte Auslenkungen schwächen sich ab oder heben sich auf.
- Das entstehende Muster bleibt am gleichen Ort, obwohl die einzelnen Teile des Mediums weiter schwingen.
Stehende Welle
Eine stehende Welle ist ein ortsfestes Schwingungsmuster aus Knoten und Bäuchen. Sie entsteht idealisiert durch die Interferenz zweier gleichfrequenter und gleich starker Wellen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen.
Bei einer Saite ist die Auslenkung quer zur Ausbreitungsrichtung: Die Welle ist transversal. In einer Luftsäule schwingen die Luftteilchen entlang der Ausbreitungsrichtung: Die Welle ist longitudinal.
Im idealen stehenden Muster gibt es keinen Netto-Energietransport in eine Ausbreitungsrichtung. Das unterscheidet es von einer einzelnen laufenden Welle.
Woran erkennst du Knoten und Bäuche?
Ein Schwingungsknoten bleibt dauerhaft ohne Auslenkung. Dort löschen sich die beiden Teilwellen zu jedem Zeitpunkt aus.
Ein Schwingungsbauch liegt an einem Ort mit maximal möglicher Auslenkung. Das Teilchen dort schwingt zwischen maximal positiver und maximal negativer Auslenkung.
Für das räumliche Muster gilt:
- Benachbarte Knoten haben den Abstand $\lambda/2$.
- Benachbarte Bäuche haben ebenfalls den Abstand $\lambda/2$.
- Zwischen einem Knoten und dem nächsten Bauch liegt $\lambda/4$.
Dabei bezeichnet $\lambda$ die Wellenlänge.
Knoten und Bäuche wandern nicht. Die Teilchen zwischen ihnen schwingen jedoch weiterhin.
Die Art des Endes legt fest, was dort entsteht:
- Festes Ende: Die reflektierte Welle erhält einen Phasensprung um $\pi$. Am Ende liegt ein Knoten.
- Loses Ende: Die Reflexion erfolgt ohne Phasensprung. Am Ende liegt ein Bauch.
- Offenes Rohrende: Für die Bewegung der Luft liegt dort ein Schwingungsbauch.
- Geschlossenes Rohrende: Für die Bewegung der Luft liegt dort ein Schwingungsknoten.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Am festen Ende liegt ein . Zwei benachbarte Knoten sind voneinander entfernt. Zwischen einem Knoten und dem nächsten Bauch liegt .
Welche Moden passen zu zwei gleichen Enden?
Eine Eigenschwingung oder Mode ist ein stehendes Muster, das zu den Randbedingungen des Systems passt. Die niedrigste Eigenfrequenz gehört zur Grundschwingung. Höhere zulässige Moden heißen Oberschwingungen.
Zwei feste Enden
An einer beidseitig festen Saite müssen beide Enden Knoten sein. In die Länge $L$ passen deshalb genau $n$ halbe Wellenlängen:
$$L=n\cdot\frac{\lambda_n}{2}$$
Dabei ist $n=1,2,3,\ldots$ die Modenzahl. Umgestellt ergibt sich:
$$\lambda_n=\frac{2L}{n}$$
Mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ und $v=\lambda f$ folgt:
$$f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L}$$
Textskizzen der ersten Moden:
- $n=1$: Knoten – Bauch – Knoten
- $n=2$: Knoten – Bauch – Knoten – Bauch – Knoten
- $n=3$: Knoten – Bauch – Knoten – Bauch – Knoten – Bauch – Knoten
Zwei offene Enden
Bei einer beidseitig offenen Luftsäule liegen an beiden Enden Schwingungsbäuche der Luftbewegung. Trotzdem passen ebenfalls $n$ halbe Wellenlängen in die Länge. Daher gelten dieselben Beziehungen für $\lambda_n$ und $f_n$ wie bei zwei festen Enden.
Eine beidseitig feste Saite ist $L=0{,}90\,\mathrm{m}$ lang. Die Wellengeschwindigkeit beträgt $v=180\,\mathrm{m/s}$. Gesucht sind Wellenlänge und Frequenz der dritten Mode.
- Zwei feste Enden bedeuten $L=n\lambda_n/2$.
- Für $n=3$ gilt:
$$\lambda_3=\frac{2\cdot0{,}90\,\mathrm{m}}{3}=0{,}60\,\mathrm{m}$$
- Nun folgt aus $f=v/\lambda$:
$$f_3=\frac{180\,\mathrm{m/s}}{0{,}60\,\mathrm{m}}=300\,\mathrm{Hz}$$
Die Einheit stimmt: Meter kürzen sich, übrig bleibt $1/\mathrm{s}=\mathrm{Hz}$.
Was ändert sich bei zwei verschiedenen Enden?
Hat ein System ein festes und ein loses Ende, muss das Muster an einem Ende mit einem Knoten und am anderen mit einem Bauch enden. Das gilt entsprechend für eine Luftsäule mit einem geschlossenen und einem offenen Ende.
Bei der Grundschwingung passt nur ein Viertel der Wellenlänge in die Länge:
$$L=\frac{\lambda_1}{4}$$
Weitere zulässige Moden kommen jeweils durch eine zusätzliche halbe Wellenlänge hinzu. Allgemein gilt:
$$L=\frac{(2n-1)\lambda_n}{4},\qquad n=1,2,3,\ldots$$
Daraus folgen:
$$\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}$$
$$f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}$$
Es treten damit nur die ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz auf: $f_1$, $3f_1$, $5f_1$, und so weiter.
Eine Luftsäule ist an einem Ende geschlossen und am anderen offen. Sie hat die Länge $L=0{,}85\,\mathrm{m}$. Die Schallgeschwindigkeit beträgt $c=340\,\mathrm{m/s}$. Gesucht ist die zweite zulässige Mode, also $n=2$.
- Wegen der verschiedenen Enden gilt:
$$\lambda_2=\frac{4L}{2\cdot2-1}$$
- Einsetzen liefert:
$$\lambda_2=\frac{4\cdot0{,}85\,\mathrm{m}}{3}\approx1{,}13\,\mathrm{m}$$
- Die Frequenz ist:
$$f_2=\frac{340\,\mathrm{m/s}}{1{,}13\,\mathrm{m}}\approx300\,\mathrm{Hz}$$
Die zweite zulässige Mode besitzt hier die dreifache Grundfrequenz, nicht die doppelte.
Wie misst und unterscheidest du die Phänomene?
Im Kundtschen Staubrohr macht feines Pulver eine stehende Schallwelle sichtbar. Das Pulver sammelt sich an Orten, an denen die Luft nicht schwingt: den Knoten.
Benachbarte Pulverschwerpunkte liegen $0{,}40\,\mathrm{m}$ auseinander. Dieser Abstand entspricht $\lambda/2$.
$$\lambda=2\cdot0{,}40\,\mathrm{m}=0{,}80\,\mathrm{m}$$
Bei einer bekannten Schallgeschwindigkeit von $c=340\,\mathrm{m/s}$ folgt:
$$f=\frac{c}{\lambda}=\frac{340\,\mathrm{m/s}}{0{,}80\,\mathrm{m}}=425\,\mathrm{Hz}$$
Die Entfernung von einem Knoten bis zum übernächsten Knoten entspricht direkt einer ganzen Wellenlänge.
Vier eng verwandte Vorgänge solltest du auseinanderhalten:
- Laufende Welle: Das Wellenmuster breitet sich aus und transportiert Energie.
- Reflexion: Eine Welle kehrt an einer Begrenzung um. Das allein bezeichnet noch nicht das gesamte stehende Muster.
- Stehende Welle: Hin- und rücklaufende passende Wellen bilden ortsfeste Knoten und Bäuche.
- Resonanz: Eine Anregungsfrequenz trifft eine Eigenfrequenz des begrenzten Systems. Dadurch bildet sich eine besonders deutliche Eigenschwingung.
Auch zweidimensionale Systeme können Eigenschwingungen besitzen. Auf einer Trommelmembran entstehen keine einzelnen Knotenpunkte, sondern Knotenlinien. Ihre Muster hängen zusätzlich von Größe und Form der Membran ab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Stehende Wellen
- entstehen durch Interferenz gegenläufiger passender Wellen
- besitzen ortsfeste Knoten und Bäuche
- werden durch feste, lose, offene oder geschlossene Enden festgelegt
- treten als zulässige Eigenschwingungen auf
- erlauben Berechnungen mit $v=\lambda f$
Prüfe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge:
- Welche Randbedingungen liegen vor?
- Sind an den Enden Knoten oder Bäuche?
- Gilt $L=n\lambda/2$ oder $L=(2n-1)\lambda/4$?
- Welche Modenzahl $n$ ist gemeint?
- Wird anschließend $v=\lambda f$ benötigt?
- Sind Einheit und Ergebnis plausibel?
Abschluss-Check
Wenn du Randbedingungen zuerst in Knoten und Bäuche übersetzt, ergibt sich die passende Formel aus dem Muster. So kannst du stehende Wellen nicht nur erkennen, sondern auch begründet berechnen.