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Hookesches Gesetz: Federkraft sicher berechnen
Im linear-elastischen Bereich gilt: Je stärker du eine Feder verlängerst, desto größer ist die benötigte Kraft. Kraftänderung und Längenänderung sind proportional. Die Federkonstante beschreibt, wie hart die Feder ist. Außerhalb dieses Bereichs darfst du das Gesetz nicht anwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sagt das hookesche Gesetz aus?
Stell dir vor, du hängst nacheinander gleiche Massestücke an eine Feder. Solange die Feder linear-elastisch reagiert, führt die doppelte zusätzliche Kraft zur doppelten Verlängerung. Proportional bedeutet hier: Der Quotient aus Kraftänderung und Längenänderung bleibt gleich.
Federkonstante
Die Federkonstante $D$ ist der konstante Quotient aus Kraftänderung $\Delta F$ und Längenänderung $\Delta x$:
$$D=\frac{\Delta F}{\Delta x}$$
Ihre Einheit ist Newton pro Meter, kurz $\mathrm{N/m}$. Ein großes $D$ kennzeichnet eine harte Feder; ein kleines $D$ eine weiche Feder.
Für Anfangs- und Endwerte gilt:
$$\Delta x=x_{\mathrm{Ende}}-x_{\mathrm{Anfang}}$$
$$\Delta F=F_{\mathrm{Ende}}-F_{\mathrm{Anfang}}$$
Daraus folgen die drei Rechenformen:
$$\Delta F=D\cdot\Delta x$$
$$D=\frac{\Delta F}{\Delta x}$$
$$\Delta x=\frac{\Delta F}{D}$$
Häufig beginnt die betrachtete zusätzliche Belastung bei null. Dann schreibt man verkürzt $F=D\cdot s$. Dabei ist $s$ die Verlängerung, nicht die gesamte Federlänge.
Erst die Änderung bestimmen, dann einsetzen: Federlänge und Verlängerung sind nicht dasselbe.
Wie rechnest du mit der Federkonstante?
Eine unbelastete Feder ist $15\,\mathrm{cm}$ lang. Durch eine zusätzliche Kraft von $0{,}60\,\mathrm N$ wird sie $25\,\mathrm{cm}$ lang. Gesucht ist $D$.
1. Verlängerung bestimmen
$$\Delta x=25\,\mathrm{cm}-15\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm m$$
2. Passende Formel wählen
$$D=\frac{\Delta F}{\Delta x}$$
3. Werte einsetzen
$$D=\frac{0{,}60\,\mathrm N}{0{,}10\,\mathrm m}=6\,\mathrm{N/m}$$
Die Federkonstante beträgt $6\,\mathrm{N/m}$. Das Ergebnis bedeutet: Für jeden zusätzlichen Meter Verlängerung wären im linearen Modell $6\,\mathrm N$ zusätzliche Kraft nötig.
Nun wird dieselbe Feder um $8\,\mathrm{cm}=0{,}08\,\mathrm m$ verlängert:
$$\Delta F=D\cdot\Delta x=6\,\mathrm{N/m}\cdot0{,}08\,\mathrm m=0{,}48\,\mathrm N$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zum Berechnen von $D$ wird zuerst die bestimmt. Zentimeter werden vor dem Einsetzen in umgerechnet. Bei $D=6\,\mathrm{N/m}$ und $\Delta x=0{,}08\,\mathrm m$ beträgt die Kraftänderung .
Wie liest du ein Kraft-Verlängerungs-Diagramm?
Im Diagramm steht die Verlängerung $\Delta x$ meist auf der waagerechten Achse und die Kraftänderung $\Delta F$ auf der senkrechten Achse. Für $D=6\,\mathrm{N/m}$ ergeben sich beispielsweise diese proportionalen Werte:
Kraftänderung bei einer Feder mit D = 6 N/m
| 0 m | 0 N |
|---|---|
| 0,05 m | 0,30 N |
| 0,10 m | 0,60 N |
| 0,15 m | 0,90 N |
Die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Ihre Steigung ist die Federkonstante:
$$D=\frac{0{,}30\,\mathrm N}{0{,}05\,\mathrm m}=6\,\mathrm{N/m}$$
Vergleichst du zwei Federn im gleichen Kraft-über-Verlängerung-Diagramm, gehört die steilere Gerade zur härteren Feder: Für dieselbe Verlängerung ist mehr Kraft nötig.
Wann gilt das Gesetz nicht mehr?
Das hookesche Gesetz beschreibt nur den proportionalen Bereich. Dort ergibt die Messwertdarstellung eine Ursprungsgerade und die Feder kehrt nach dem Entlasten in ihre Ausgangsform zurück.
Elastische und plastische Verformung
Bei einer elastischen Verformung nimmt der Körper nach dem Entlasten wieder seine ursprüngliche Form an. Bei einer plastischen Verformung bleibt eine dauerhafte Veränderung zurück.
Auch ein elastischer Körper muss nicht über jeden Belastungsbereich linear reagieren. Verlässt die Messkurve die Gerade, ändert sich der Quotient $\frac{\Delta F}{\Delta x}$; das einfache hookesche Modell passt dann nicht mehr. Bei zu großer Belastung kann die Feder dauerhaft verformt werden oder brechen.
Prüfe vor jeder Rechnung: Liegen die Messwerte auf einer Ursprungsgeraden und bleibt die Feder im linear-elastischen Bereich?
Welche Kräfte wirken an einer hängenden Feder?
Hängt eine Masse ruhig an einer senkrechten Feder, zieht ihre Gewichtskraft $F_G$ nach unten. Die gespannte Feder übt eine Federkraft $F_F$ nach oben aus. Im ruhenden Gleichgewicht sind die Beträge gleich, die Richtungen aber entgegengesetzt.
Für eine Masse $m$ gilt:
$$F_G=m\cdot g$$
mit $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$. Bei $m=0{,}20\,\mathrm{kg}$ ist
$$F_G=0{,}20\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}=1{,}962\,\mathrm N\approx1{,}96\,\mathrm N$$
Diese Gewichtskraft kann im ruhenden Gleichgewicht als Betrag der belastenden Kraft in $F=D\cdot s$ eingesetzt werden. Die Kräfte sind trotzdem nicht identisch: Die Erde verursacht die Gewichtskraft, die Feder die Federkraft.
Bei einer gerichteten Beschreibung der Rückstellkraft verwendet man:
$$F_R=-D\cdot s$$
Das Minuszeichen bedeutet: Die Rückstellkraft zeigt der Auslenkung entgegen. Für reine Betragsrechnungen nutzt du die positive Form $F=D\cdot s$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Hookesches Gesetz
- Zusammenhang
- $\Delta F=D\cdot\Delta x$
- proportionaler Bereich
- Federkonstante
- Steigung im Diagramm
- Maß für die Federhärte
- Anwendung
- Kraft, Verlängerung oder $D$ berechnen
- Einheiten prüfen
- Grenzen
- nichtlineares Verhalten
- plastische Verformung oder Bruch
- Kräfte
- Gewichtskraft nach unten
- Federkraft entgegen der Auslenkung
- Zusammenhang
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du vor dem Rechnen drei Fragen beantwortest: Welche Änderung ist gemeint? Welche Formelgröße suche ich? Liegt der Fall noch im proportionalen Bereich?