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Optische Linsen: Bilder konstruieren und berechnen
Optische Linsen brechen Licht gezielt: Sammellinsen bündeln parallele Strahlen, Zerstreuungslinsen lassen sie auseinanderlaufen. Mit wenigen Hauptstrahlen kannst du vorhersagen, wo ein Bild entsteht, wie es ausgerichtet ist und ob es auf einem Schirm aufgefangen werden kann.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie verändert eine Linse das Licht?
Eine optische Linse ist ein durchsichtiger Körper mit mindestens einer gekrümmten Oberfläche. Beim Eintritt und Austritt wird Licht gebrochen. Im Dünnlinsenmodell fasst man beide Brechungen zu einer Brechung an der Linsenebene zusammen. Dieses Modell genügt für die Konstruktionen und Rechnungen auf dieser Seite.
Sammellinse
Eine Sammellinse ist in der Mitte dicker als am Rand. Sie lässt achsenparallel einfallende Lichtstrahlen hinter der Linse in einem Brennpunkt zusammentreffen. Sie heißt auch Konvexlinse.
Zerstreuungslinse
Eine Zerstreuungslinse ist in der Mitte dünner als am Rand. Sie lässt achsenparallel einfallende Lichtstrahlen auseinanderlaufen. Ihre rückwärtigen Verlängerungen treffen sich in einem virtuellen Brennpunkt. Sie heißt auch Konkavlinse.
Die optische Achse ist die Symmetrieachse durch die Linsenmitte. Auf ihr liegen zwei Brennpunkte, je einer auf jeder Seite. Die Brennweite $f$ ist der Abstand zwischen Linsenebene und Brennpunkt. Eine stärker gekrümmte Sammellinse bricht stärker und hat eine kleinere Brennweite.
Form allein und Wirkung gehören zusammen: in der Mitte dicker bedeutet sammelnd, in der Mitte dünner bedeutet zerstreuend.
Wie konstruierst du ein Bild?
Für eine dünne Sammellinse zeichnest du von der Spitze des Gegenstands mindestens zwei der drei Hauptstrahlen. Zwei genügen, der dritte dient als Kontrolle.
- Zeichne die optische Achse, die Linse und beide Brennpunkte im Abstand $f$ ein.
- Zeichne den Parallelstrahl parallel zur Achse bis zur Linse. Hinter der Linse läuft er durch den bildseitigen Brennpunkt.
- Zeichne den Mittelpunktstrahl durch die Linsenmitte. Im Dünnlinsenmodell verläuft er geradlinig weiter.
- Als Kontrolle kannst du den Brennpunktstrahl durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt zeichnen. Hinter der Linse läuft er parallel zur Achse.
- Der Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen ist die Spitze des Bildes. Von dort zeichnest du das Bild senkrecht bis zur Achse.
Ein Gegenstand steht außerhalb der doppelten Brennweite einer Sammellinse. Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl schneiden sich hinter der Linse zwischen $F$ und $2F$. Die Bildspitze liegt unterhalb der optischen Achse. Das Bild ist daher reell, umgekehrt und kleiner als der Gegenstand.
Zeichenaufgabe: Zeichne eine senkrechte Sammellinse und die optische Achse. Markiere beide Brennpunkte im Abstand $f=4\,\mathrm{cm}$ von der Linse. Zeichne einen $3\,\mathrm{cm}$ hohen Gegenstand im Abstand $g=8\,\mathrm{cm}$ links von der Linse. Führe von seiner Spitze den Parallelstrahl und den Mittelpunktstrahl aus. Bestimme aus ihrem Schnittpunkt Bildlage, Ausrichtung und Größe, bevor du die Musterlösung liest.
Musterlösung: Der Parallelstrahl läuft hinter der Linse durch den rechten Brennpunkt. Der Mittelpunktstrahl verläuft geradlinig durch die Linsenmitte. Beide schneiden sich $8\,\mathrm{cm}$ rechts von der Linse und $3\,\mathrm{cm}$ unterhalb der Achse. Das Bild ist daher reell, umgekehrt und mit $3\,\mathrm{cm}$ gleich groß wie der Gegenstand.
Ein Bild entsteht punktweise: Von jedem Gegenstandspunkt laufen Lichtstrahlen aus. Die Linse ordnet diese Strahlen neuen Bildpunkten zu. Das Bild wandert also nicht als fertiges Ganzes durch die Linse.
Bei einer Zerstreuungslinse laufen die Strahlen hinter der Linse auseinander. Verlängerst du sie gedanklich rückwärts, schneiden sich diese Verlängerungen auf der Gegenstandsseite. Das Bild ist virtuell, aufrecht und kleiner.
Welche Bildart entsteht bei einer Sammellinse?
Entscheidend ist die Gegenstandsweite $g$, also der Abstand zwischen Gegenstand und Linsenebene. Vergleiche $g$ mit der Brennweite $f$ und der doppelten Brennweite $2f$.
| Lage des Gegenstands | Lage und Größe des Bildes | Bildart |
|---|---|---|
| $g>2f$ | zwischen $f$ und $2f$, kleiner, umgekehrt | reell |
| $g=2f$ | bei $2f$, gleich groß, umgekehrt | reell |
| $f$ kleiner als $g$ und $g$ kleiner als $2f$ | weiter als $2f$ entfernt, größer, umgekehrt | reell |
| $g=f$ | Strahlen verlaufen hinter der Linse parallel | kein endlicher Bildpunkt |
| $g$ kleiner als $f$ | auf der Gegenstandsseite, größer, aufrecht | virtuell |
Reelles Bild
Bei einem reellen Bild treffen sich am Bildort tatsächlich Lichtstrahlen. Deshalb kannst du es auf einem Schirm, einer Netzhaut oder einem Kamerasensor auffangen.
Virtuelles Bild
Bei einem virtuellen Bild treffen sich am scheinbaren Bildort nur die rückwärtigen Verlängerungen der Strahlen. Du kannst es dort nicht auf einem Schirm auffangen, aber beim Blick durch die Linse wahrnehmen.
Außerhalb der Brennweite erzeugt eine Sammellinse ein reelles, umgekehrtes Bild. Innerhalb der Brennweite wirkt sie als Lupe und erzeugt ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild.
Wie rechnest du mit der Linsengleichung?
Für ein reelles Bild einer dünnen Sammellinse verwendest du hier positive Abstände. Die Größen bedeuten:
- $f$: Brennweite,
- $g$: Gegenstandsweite,
- $b$: Bildweite,
- $G$: Gegenstandsgröße,
- $B$: Betrag der Bildgröße.
Die Linsengleichung lautet:
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$$
Der Betrag des Abbildungsmaßstabs ist:
$$m=\frac{B}{G}=\frac{b}{g}$$
Ein $G=4\,\mathrm{cm}$ hoher Gegenstand steht $g=30\,\mathrm{cm}$ vor einer Sammellinse mit $f=10\,\mathrm{cm}$. Gesucht sind Bildweite und Bildgröße.
Zuerst setzt du die Abstände in die Linsengleichung ein:
$$\frac{1}{10\,\mathrm{cm}}=\frac{1}{30\,\mathrm{cm}}+\frac{1}{b}$$
Daraus folgt:
$$\frac{1}{b}=\frac{1}{10\,\mathrm{cm}}-\frac{1}{30\,\mathrm{cm}}=\frac{1}{15\,\mathrm{cm}}$$
Also ist $b=15\,\mathrm{cm}$. Das passt zur Konstruktion: Weil $g>2f$ gilt, muss das Bild zwischen $f$ und $2f$ liegen.
Nun berechnest du den Maßstab:
$$m=\frac{b}{g}=\frac{15}{30}=0{,}5$$
Damit ist $B=m\cdot G=0{,}5\cdot4\,\mathrm{cm}=2\,\mathrm{cm}$. Das reelle Bild liegt $15\,\mathrm{cm}$ hinter der Linse, ist $2\,\mathrm{cm}$ hoch und umgekehrt.
Prüfe ein Rechenergebnis immer mit dem passenden Bildfall. Eine positive Zahl allein zeigt noch nicht, ob du richtig gerechnet hast.
Was machen Auge, Kamera und Lupe mit Bildern?
Auge und Kamera nutzen eine Sammellinse, um ein reelles, umgekehrtes Bild auf einer lichtempfindlichen Fläche zu erzeugen: im Auge auf der Netzhaut, in der Kamera auf dem Sensor. Nur ein scharfes Bild auf dieser Fläche kann dort erfasst werden.
Beim Auge sorgt die Akkommodation für Schärfe: Die Augenlinse verändert ihre Brechkraft und damit ihre Brennweite, wenn du zwischen nahen und fernen Gegenständen wechselst. Bei einer einfachen Kamera wird zum Scharfstellen der wirksame Abstand im Linsensystem verändert.
Die Lupe wird anders benutzt. Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite, also $g$ kleiner als $f$. Die austretenden Strahlen laufen auseinander. Dein Auge verlängert sie gedanklich zurück und nimmt ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild wahr. Dieses virtuelle Bild lässt sich am scheinbaren Bildort nicht auf einem Schirm auffangen.
Unterscheide vier Dinge: Der Gegenstand sendet oder reflektiert Licht. Die Linse formt die Strahlen. Ein reelles Bild kann auf Netzhaut oder Sensor erfasst werden. Wahrnehmung entsteht erst, wenn das Auge die eintreffenden Lichtreize verarbeitet.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Optische Linsen
- Sammellinse: bündelt Licht
- außerhalb der Brennweite: reelles Bild
- innerhalb der Brennweite: virtuelles Lupenbild
- Zerstreuungslinse: zerstreut Licht
- stets virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild
- Bildkonstruktion
- Parallelstrahl
- Mittelpunktstrahl
- Brennpunktstrahl
- Berechnung
- Linsengleichung
- Abbildungsmaßstab
- Anwendungen
- Auge: Bild auf der Netzhaut
- Kamera: Bild auf dem Sensor
- Lupe: virtuelles vergrößertes Bild
- Sammellinse: bündelt Licht