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Lorenzkurve berechnen, zeichnen und deuten
Die Lorenzkurve zeigt, wie ungleich eine nichtnegative Größe – etwa Einkommen oder Vermögen – verteilt ist. Jeder Punkt gibt an, welchen Anteil der Gesamtsumme die unteren $x\,\%$ der aufsteigend sortierten Personen zusammen besitzen.
Du lernst, die benötigten Anteile zu berechnen, die Kurve zu zeichnen und ihre Aussage sowie ihre Grenzen zu erklären.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt eine Lorenzkurve?
Stell dir vor, du möchtest untersuchen, wie das Einkommen in einer Gruppe verteilt ist. Dazu ordnest du alle Personen vom kleinsten zum größten Einkommen. Anschließend vergleichst du zwei kumulierte, also schrittweise aufsummierte, Anteile:
- Auf der x-Achse steht der Anteil der bereits berücksichtigten Personen.
- Auf der y-Achse steht ihr gemeinsamer Anteil am gesamten Einkommen.
Lorenzkurve
Die Lorenzkurve stellt den kumulierten Anteil einer aufsteigend sortierten Grundgesamtheit dem kumulierten Anteil ihrer Merkmalssumme gegenüber. Das betrachtete Merkmal muss nichtnegative Werte besitzen.
Ein Punkt $(0{,}8\mid0{,}444)$ bedeutet beispielsweise:
Die unteren 80 % der Personen besitzen zusammen 44,4 % der Gesamtsumme.
„Untere 80 %“ meint dabei die 80 % mit den kleinsten Merkmalswerten. Der Punkt sagt nicht, dass jede dieser Personen denselben Anteil erhält.
Die Gleichverteilungsgerade verläuft von $(0\mid0)$ bis $(1\mid1)$. Auf ihr besitzen zum Beispiel 40 % der Personen genau 40 % der Gesamtsumme. Je weiter die Lorenzkurve unter dieser Geraden liegt, desto ungleicher ist die Verteilung.
Lies einen Kurvenpunkt immer kumuliert: Die unteren $x\,\%$ besitzen zusammen $y\,\%$ der Gesamtsumme.
Wie berechnest du die Kurvenpunkte?
Für eine Lorenzkurve gehst du in einer festen Reihenfolge vor:
- Sortiere alle Merkmalswerte aufsteigend.
- Addiere die Werte schrittweise. So entstehen die kumulierten Merkmalswerte.
- Teile jeden kumulierten Wert durch die Gesamtsumme. Das ergibt die y-Koordinaten.
- Teile die kumulierte Zahl der Personen durch ihre Gesamtzahl. Das ergibt die x-Koordinaten.
- Ergänze den Startpunkt $(0\mid0)$.
Die Sortierung ist unverzichtbar. Ohne sie würdest du nur eine zufällige Reihenfolge aufsummieren und könntest keine Aussage über die Personen mit den kleinsten Werten treffen.
Eine vereinfachte Gruppe besteht aus fünf Personen mit den Einkommen 2 €, 4 €, 5 €, 5 € und 20 €. Die Werte sind bereits aufsteigend sortiert.
Die Gesamtsumme beträgt:
$$2+4+5+5+20=36\,€$$
| Personen | Anteil der Personen | kumuliertes Einkommen | Anteil an 36 € |
|---|---|---|---|
| 0 von 5 | 0 % | 0 € | 0 % |
| 1 von 5 | 20 % | 2 € | 5,6 % |
| 2 von 5 | 40 % | 6 € | 16,7 % |
| 3 von 5 | 60 % | 11 € | 30,6 % |
| 4 von 5 | 80 % | 16 € | 44,4 % |
| 5 von 5 | 100 % | 36 € | 100 % |
Für die vier Personen mit den kleinsten Einkommen rechnest du beispielsweise:
$$\frac{2+4+5+5}{36}=\frac{16}{36}\approx0{,}444=44{,}4\,\%$$
Daraus entsteht der Kurvenpunkt $(0{,}8\mid0{,}444)$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Vor dem Kumulieren werden die Werte sortiert. Die x-Koordinate entsteht aus dem kumulierten Anteil der . Die y-Koordinate entsteht aus dem kumulierten Anteil der .
Wie zeichnest und liest du die Kurve?
Übertrage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem. Beide Achsen reichen von 0 bis 1 oder von 0 % bis 100 %.
Für das Beispiel erhältst du diese Punkte:
- $(0\mid0)$
- $(0{,}2\mid0{,}056)$
- $(0{,}4\mid0{,}167)$
- $(0{,}6\mid0{,}306)$
- $(0{,}8\mid0{,}444)$
- $(1\mid1)$
Verbinde benachbarte Punkte geradlinig. Eine empirische Lorenzkurve ist daher zwischen den Messpunkten stückweise linear. Sie steigt monoton, fällt also nicht, und verläuft konvex unterhalb der Gleichverteilungsgeraden.
Zeichne zusätzlich die Gerade von $(0\mid0)$ bis $(1\mid1)$. Nun kannst du beide Verläufe vergleichen.
Im Beispiel liest du bei 80 % auf der x-Achse einen y-Wert von rund 44,4 % ab. Die unteren 80 % erhalten also zusammen 44,4 % des Einkommens. Für die oberen 20 % bleibt der Rest:
$$100\,\%-44{,}4\,\%=55{,}6\,\%$$
Die 55,6 % der oberen 20 % sind kein eigener Punkt bei $x=20\,\%$. Sie entstehen als Rest zur Gesamtsumme, nachdem du den Anteil der unteren 80 % abgelesen hast.
Wie beurteilst du Ungleichheit und Grenzen?
Bei vollkommener Gleichverteilung haben alle Personen denselben Merkmalswert. Dann fällt die Lorenzkurve mit der Gleichverteilungsgeraden zusammen: $x\,\%$ der Personen besitzen genau $x\,\%$ der Gesamtsumme.
Bei maximaler Ungleichheit erhält im idealisierten Extremfall eine Person die gesamte Summe, während alle anderen nichts erhalten. Die Kurve bleibt dann möglichst lange auf der x-Achse und steigt erst am Ende zu $(1\mid1)$.
Der Gini-Koeffizient fasst den Abstand zwischen Lorenzkurve und Gleichverteilungsgerade in einer Zahl zusammen. Er beruht auf der Fläche zwischen beiden Linien im Verhältnis zur gesamten Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden:
- $0$ steht für vollständige Gleichheit.
- Ein Wert nahe $1$ steht für sehr starke Ungleichheit.
- Eine größere Fläche zwischen den Linien führt zu einem größeren Gini-Wert.
Die Lorenzkurve zeigt den Verlauf einer Verteilung. Der Gini-Koeffizient verdichtet ihre Ungleichheit zu einer Zahl.
Diese Verdichtung hat eine Grenze: Unterschiedlich geformte Lorenzkurven können dieselbe Fläche und damit denselben Gini-Wert besitzen. Ein gleicher Gini-Wert beweist deshalb nicht, dass zwei Verteilungen gleich aufgebaut sind. Für eine genauere Beurteilung solltest du auch die Kurvenverläufe vergleichen.
Außerdem beschreibt die Lorenzkurve zunächst nur die Verteilung eines Merkmals. Ob diese Verteilung gerecht oder ungerecht ist, lässt sich daraus allein nicht ableiten. Dafür wären zusätzlich ausdrücklich benannte Bewertungskriterien nötig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lorenzkurve
- Grundlage: nichtnegative und aufsteigend sortierte Werte
- x-Achse: kumulierter Anteil der Merkmalsträger
- y-Achse: kumulierter Anteil der Merkmalssumme
- Berechnung: sortieren, kumulieren und relativieren
- Vergleich: Gleichverteilungsgerade von $(0\mid0)$ bis $(1\mid1)$
- Deutung: größerer Abstand bedeutet stärkere Ungleichheit
- Ergänzung: Gini-Koeffizient verdichtet die Fläche zu einer Zahl
- Grenze: Verteilung wird beschrieben, aber nicht automatisch bewertet
Abschluss-Check
Du kannst eine Lorenzkurve nun als vollständigen Denkweg verwenden: Werte sortieren, Anteile kumulieren, Punkte zeichnen, den Abstand zur Gleichverteilungsgeraden deuten und die Grenzen der Darstellung benennen.