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Jeder Computer muss Zahlen addieren können: für Punktestände, Speicheradressen, Uhrzeiten oder Pixelwerte. Innen passiert das nicht mit Dezimalziffern, sondern mit Bits und logischen Schaltungen. Nach dieser Erklärung kannst du Halbaddierer und Volladdierer unterscheiden, die Wahrheitstabelle lesen und verstehen, wie mehrere Volladdierer größere Binärzahlen addieren.
- Ich kann erklären, was ein digitaler Addierer macht.
- Ich kann Halbaddierer und Volladdierer unterscheiden.
- Ich kann Summe und Übertrag bei der Bitaddition bestimmen.
- Ich kann die Wahrheitstabelle eines Volladdierers deuten.
- Ich kann erklären, warum mehrere Volladdierer zu einem Mehrbit-Addierer verbunden werden.
Addition mit Bits
Computer arbeiten intern mit Bits. Ein Bit kann nur 0 oder 1 sein. Beim Addieren zweier Bits kann trotzdem ein Ergebnis mit zwei Stellen entstehen, genau wie bei \(9 + 1 = 10\) im Dezimalsystem.
Bit
Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit in der Informatik. Es kann den Wert 0 oder 1 haben.
Addierer
Ein Addierer ist eine digitale Schaltung, die Binärzahlen addiert. Seine Ausgänge liefern ein Summenbit und, falls nötig, einen Übertrag.
Bei einem einzelnen Bit gibt es nur vier Fälle für \(A + B\): 0+0, 0+1, 1+0 und 1+1. Der letzte Fall ist besonders wichtig: \(1 + 1\) ergibt binär 10. Das rechte Bit ist die Summe, das linke Bit ist der Übertrag.
Ein-Bit-Addition:
| A | B | dezimal | binär |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 10 |
Bei 1 + 1 = 10 ist das Summenbit 0 und der Übertrag 1.
Ein Übertrag entsteht, wenn eine Bitstelle mehr als 1 darstellen müsste. Dann wandert eine 1 in die nächste Stelle.
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Der Halbaddierer
Der einfachste Addierer addiert zwei Bits. Er heißt Halbaddierer, weil er keinen eingehenden Übertrag aus einer vorherigen Stelle verarbeiten kann.
Halbaddierer
Ein Halbaddierer ist eine logische Schaltung mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen. Er addiert zwei Bits und liefert ein Summenbit sowie ein Übertragsbit.
XOR
XOR bedeutet exklusives Oder. Das Ergebnis ist 1, wenn genau einer der Eingänge 1 ist. Sind beide gleich, ist das Ergebnis 0.
Beim Halbaddierer gilt:
- Summenbit: \(S = A \oplus B\)
- Übertrag: \(C = A \land B\)
Das passt zur Tabelle: Genau bei 0+1 und 1+0 ist die Summe 1. Nur bei 1+1 entsteht ein Übertrag.
Halbaddierer-Wahrheitstabelle:
| A | B | S | C |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Die letzte Zeile bedeutet: \(1 + 1 = 10\). Also ist \(S = 0\) und \(C = 1\).
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Der Volladdierer
Bei mehrstelligen Binärzahlen reicht ein Halbaddierer nicht. Eine Stelle muss auch den Übertrag aus der vorherigen Stelle berücksichtigen. Dafür gibt es den Volladdierer.
Volladdierer
Ein Volladdierer ist eine logische Schaltung mit drei Eingängen: zwei Bits \(A\) und \(B\) sowie einem eingehenden Übertrag \(C_{in}\). Er liefert ein Summenbit \(S\) und einen ausgehenden Übertrag \(C_{out}\).
Die Idee ist einfach: Der Volladdierer zählt, wie viele Einsen an seinen drei Eingängen anliegen. Bei 0 Einsen kommt 0 heraus. Bei 1 Eins kommt Summe 1. Bei 2 Einsen kommt binär 10 heraus. Bei 3 Einsen kommt binär 11 heraus.
Volladdierer-Wahrheitstabelle:
| A | B | \(C_{in}\) | Anzahl Einsen | S | \(C_{out}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
Die letzte Zeile bedeutet: \(1 + 1 + 1 = 3\), und 3 ist binär 11.
Wahrheitstabelle
Eine Wahrheitstabelle listet alle möglichen Eingangskombinationen einer logischen Schaltung auf und zeigt die zugehörigen Ausgänge.
Beim Volladdierer ist das Summenbit 1, wenn eine ungerade Anzahl von Eingängen 1 ist. Der Übertrag ist 1, wenn mindestens zwei Eingänge 1 sind.
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Aus Gattern gebaut
Ein Volladdierer kann aus logischen Gattern zusammengesetzt werden. Eine anschauliche Bauweise nutzt zwei Halbaddierer und ein OR-Gatter.
Logikgatter
Ein Logikgatter ist eine digitale Grundschaltung, die aus Eingangssignalen ein Ausgangssignal berechnet. Beispiele sind AND, OR, NOT und XOR.
OR
OR bedeutet Oder. Das Ergebnis ist 1, wenn mindestens einer der Eingänge 1 ist.
Der Bauplan mit zwei Halbaddierern funktioniert so: Der erste Halbaddierer addiert \(A\) und \(B\). Der zweite addiert dessen Summenbit mit \(C_{in}\). Die beiden möglichen Überträge werden mit OR zusammengeführt.
Volladdierer aus Halbaddierern:
- Halbaddierer 1:
- Eingänge: \(A\), \(B\)
- Ausgänge: Zwischensumme \(Z\), Übertrag \(C_1\)
- Halbaddierer 2:
- Eingänge: \(Z\), \(C_{in}\)
- Ausgänge: Endsumme \(S\), Übertrag \(C_2\)
- OR-Gatter:
- \(C_{out} = C_1 \lor C_2\)
So wird aus zwei einfachen Bausteinen ein Volladdierer.
In echten Prozessoren wird diese Grundidee optimiert. Es geht dann um Geschwindigkeit, Energieverbrauch und Fläche auf dem Chip. Für den Einstieg reicht die Logik: Summe und Übertrag müssen für jede Bitstelle korrekt entstehen.
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Mehrbit-Addierer
Ein einzelner Volladdierer addiert eine Bitstelle. Für mehrere Bits schaltet man mehrere Volladdierer hintereinander. Der Übertrag wandert von der niederwertigen Stelle zur nächsthöheren.
Ripple-Carry-Addierer
Ein Ripple-Carry-Addierer verbindet mehrere Volladdierer in Reihe. Der ausgehende Übertrag einer Stelle wird zum eingehenden Übertrag der nächsten Stelle.
Addiere 1011 und 0110.
Dezimal sind das 11 und 6. Das Ergebnis muss also 17 sein, binär 10001.
Von rechts nach links:
- Stelle: \(1 + 0 + 0 = 1\), Summe 1, Übertrag 0.
- Stelle: \(1 + 1 + 0 = 2\), Summe 0, Übertrag 1.
- Stelle: \(0 + 1 + 1 = 2\), Summe 0, Übertrag 1.
- Stelle: \(1 + 0 + 1 = 2\), Summe 0, Übertrag 1.
- Der letzte Übertrag wird vorne angehängt.
Ergebnis: 10001.
Der Name Ripple-Carry kommt daher, dass der Übertrag wie eine kleine Welle durch die Stellen läuft. Das ist einfach zu bauen, aber bei sehr vielen Bits kann es langsam werden, weil jede Stelle auf den vorherigen Übertrag warten muss.
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Prüfungsmodus
Bei Addierer-Aufgaben hilft eine einfache Strategie: Zähle die Einsen. Bei einem Volladdierer bestimmen 0, 1, 2 oder 3 Einsen die Ausgänge.
Schnelltest für \(A=1\), \(B=1\), \(C_{in}=0\):
- Anzahl Einsen: 2.
- 2 ist binär
10. - Summenbit ist die rechte Stelle: 0.
- Übertrag ist die linke Stelle: 1.
Also \(S=0\) und \(C_{out}=1\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Ein Addierer ist eine digitale Schaltung zur Addition von Binärzahlen. Schon bei 1 + 1 entsteht ein Übertrag, weil ein Bit nur 0 oder 1 speichern kann.
Der Halbaddierer addiert zwei Bits. Der Volladdierer addiert zwei Bits plus eingehenden Übertrag und liefert ein Summenbit sowie einen ausgehenden Übertrag.
Mehrbit-Addierer entstehen, indem Volladdierer verbunden werden. Beim Ripple-Carry-Addierer wandert der Übertrag von Stelle zu Stelle weiter.