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Abstand Punkt–Ebene berechnen: Formel und Lotfuß
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindung. Diese Verbindung steht senkrecht auf der Ebene und verläuft deshalb parallel zu ihrem Normalenvektor. Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Abstand direkt mit einer Formel berechnen; brauchst du zusätzlich den nächstgelegenen Punkt der Ebene, nutzt du das Lotfußpunktverfahren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der Abstand?
Stell dir alle Strecken vor, die den Punkt $P$ mit Punkten der Ebene $E$ verbinden. Die kürzeste davon trifft die Ebene im rechten Winkel. Ihre Länge ist der Abstand $d(P,E)$.
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt $F$ ist der Punkt der Ebene, den die senkrechte Verbindung von $P$ zur Ebene trifft. Daher gilt $d(P,E)=|\overrightarrow{PF}|$.
Der Normalenvektor $\vec n$ einer Ebene steht senkrecht auf der Ebene. Deshalb zeigt er genau in Lotrichtung. Liegt $P$ bereits in $E$, dann fallen $P$ und $F$ zusammen und der Abstand ist $0$.
Ein Abstand ist immer eine Länge. Er kann deshalb nie negativ sein.
Wie funktioniert die Abstandsformel?
Für die Ebene
$$E: ax+by+cz=k$$
und den Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$ gilt
$$d(P,E)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3-k|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
Dabei ist $\vec n=(a,b,c)^T$ ein Normalenvektor. Er darf nicht der Nullvektor sein.
So setzt du sicher ein
- Setze die Koordinaten von $P$ in den Ebenenausdruck ein.
- Bilde vom Ergebnis den Betrag.
- Berechne die Länge $|\vec n|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
- Teile den Betrag durch die Länge des Normalenvektors.
Der Zähler kann je nach Seite der Ebene positiv oder negativ sein. Der Betrag entfernt dieses Richtungszeichen. Die Division durch $|\vec n|$ ist nötig, weil ein Vielfaches derselben Ebenengleichung dieselbe Ebene beschreibt, aber einen längeren Normalenvektor besitzt.
Liegt die Ebene in Normalenform $E:(\vec x-\vec a)\cdot\vec n=0$ vor, lautet dieselbe Regel:
$$d(P,E)=\frac{|(\vec p-\vec a)\cdot\vec n|}{|\vec n|}.$$
Eine Ebene in Parameterform musst du zuerst in eine Normalen- oder Koordinatenform umwandeln.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Gegeben sind
$$P(8|-5|2)$$
und
$$E:4x+8y-19z=31.$$
1. Zähler berechnen:
$$|4\cdot 8+8\cdot(-5)-19\cdot2-31|=|-77|=77$$
2. Länge des Normalenvektors berechnen:
$$|\vec n|=\sqrt{4^2+8^2+(-19)^2}=\sqrt{441}=21$$
3. Teilen und kürzen:
$$d(P,E)=\frac{77}{21}=\frac{11}{3}\ \text{LE}$$
Der Punkt hat von der Ebene den Abstand $\frac{11}{3}$ Längeneinheiten.
Typische Fehler vermeiden
- Lass den Betrag nicht weg: Aus $-77$ wird die positive Länge $77$.
- Quadriere im Nenner alle drei Komponenten, auch eine negative Komponente.
- Teile durch $|\vec n|$, nicht durch $a+b+c$.
- Prüfe am Ende: Das Ergebnis braucht eine Längeneinheit, falls im Kontext eine angegeben ist.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $E:x+2y+2z=9$ und $P(1|2|2)$ ist der eingesetzte Ebenenausdruck . Daher liegt $P$ und der Abstand beträgt LE.
Wann brauchst du das Lotfußpunktverfahren?
Die direkte Formel liefert schnell den Abstand. Das Lotfußpunktverfahren ist länger, bestimmt aber zusätzlich den nächstgelegenen Punkt $F$ auf der Ebene.
Gegeben seien
$$E:2x-y+z=8,\qquad P(2|1|3).$$
Der Normalenvektor ist $\vec n=(2,-1,1)^T$.
Lotfußpunkt in drei Schritten
- Stelle die Lotgerade durch $P$ in Normalenrichtung auf:
$$l:\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}.$$
- Setze $x=2+2t$, $y=1-t$ und $z=3+t$ in die Ebene ein:
$$2(2+2t)-(1-t)+(3+t)=8.$$
Daraus folgt $6+6t=8$, also $t=\frac13$.
- Setze den Parameter in die Lotgerade ein:
$$F\left(\frac83\middle|\frac23\middle|\frac{10}{3}\right).$$
Nun ist
$$\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}\frac23\\-\frac13\\\frac13\end{pmatrix}$$
und damit
$$d(P,E)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{\frac69}=\frac{\sqrt6}{3}\ \text{LE}.$$
Brauchst du nur den Abstand, ist die Formel meist kürzer. Brauchst du auch den nächstgelegenen Ebenenpunkt, bestimme den Lotfußpunkt.
Wie findest du Punkte mit vorgegebenem Abstand?
Auf der Geraden
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$
hat jeder Punkt die Form $P(r|2r|2)$. Gesucht sind Punkte mit dem Abstand $\frac{\sqrt{14}}2$ von
$$E:x+2y+3z=9.$$
Setze den allgemeinen Punkt in die Abstandsformel ein:
$$\frac{|r+2\cdot2r+3\cdot2-9|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{14}}2.$$
Das vereinfacht sich zu
$$\frac{|5r-3|}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}2$$
und damit zu $|5r-3|=7$.
Der Betrag erzeugt zwei Fälle
$$5r-3=7\quad\Rightarrow\quad r=2,$$
$$5r-3=-7\quad\Rightarrow\quad r=-\frac45.$$
Einsetzen in $P(r|2r|2)$ liefert
$$P_1(2|4|2),\qquad P_2\left(-\frac45\middle|-\frac85\middle|2\right).$$
Beide Punkte erfüllen die geforderte Abstandsgleichung.
Wenn du eine Abstandsgleichung quadrierst, kann das neue Lösungen erzeugen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Setze deshalb alle Ergebnisse in die Gleichung mit Betrag und Wurzel zurück ein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Abstand Punkt–Ebene
- kürzeste Verbindung
- senkrecht zur Ebene
- parallel zum Normalenvektor
- direkte Formel
- Ebenenausdruck am Punkt auswerten
- Betrag bilden
- durch Normalenlänge teilen
- Lotfußpunktverfahren
- Lotgerade aufstellen
- mit Ebene schneiden
- Strecke zum Fußpunkt berechnen
- Abstandsgleichung
- zwei Betragsfälle lösen
- Ergebnisse kontrollieren
- kürzeste Verbindung