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Hessesche Normalform: Ebenen und Abstände
Die Hessesche Normalform ist eine Normalenform mit einem Normalenvektor der Länge $1$. Dadurch kannst du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene direkt berechnen: Du setzt den Punkt ein und bildest den Betrag des Ergebnisses.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum muss der Normalenvektor die Länge 1 haben?
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf einer Ebene. Seine Richtung beschreibt die Lage der Ebene, seine Länge ist zunächst beliebig.
Für einen von null verschiedenen Normalenvektor
$$\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$$
berechnest du die Länge mit
$$\lVert\vec n\rVert=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.$$
Anschließend teilst du jede Komponente durch diese Länge:
$$\vec n_0=\frac{\vec n}{\lVert\vec n\rVert}.$$
Der neue Vektor $\vec n_0$ ist ein Normaleneinheitsvektor. Er zeigt weiterhin senkrecht zur Ebene, hat aber die Länge $1$.
Hessesche Normalform
Eine Ebene mit dem Stützvektor $\vec p$ liegt in Hessescher Normalform vor, wenn
$$\vec n_0\cdot(\vec x-\vec p)=0$$
gilt und $\lVert\vec n_0\rVert=1$ ist. Der Punkt zwischen zwei Vektoren bezeichnet das Skalarprodukt.
Gegeben ist der Normalenvektor
$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}.$$
Seine Länge ist
$$\lVert\vec n\rVert=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt9=3.$$
Damit lautet der Normaleneinheitsvektor
$$\vec n_0=\frac13\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}.$$
Die senkrechte Richtung bleibt gleich. Nur die Länge wird auf $1$ geändert.
Wie entsteht die Form aus einer Normalenform?
Liegt die Ebene bereits als
$$\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0$$
vor, brauchst du nur den Normalenvektor zu normieren. Der Stützvektor $\vec p$ bleibt unverändert.
Gegeben ist
$$E:\quad \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\cdot\left(\vec x-\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)=0.$$
Die Länge des Normalenvektors beträgt
$$\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=3.$$
Deshalb lautet die Hessesche Normalform
$$E:\quad \frac13\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\cdot\left(\vec x-\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)=0.$$
Normiere nur den Normalenvektor. Ein Stützpunkt der Ebene wird dadurch nicht verändert.
Wie wandelst du eine Koordinatenform um?
Eine Ebene in Koordinatenform lautet beispielsweise
$$ax_1+bx_2+cx_3+e=0.$$
Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ bilden den Normalenvektor
$$\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$$
Teile die gesamte linke Seite durch die Länge des Normalenvektors:
$$\frac{ax_1+bx_2+cx_3+e}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0.$$
Du musst dafür keinen Stützpunkt bestimmen.
Gegeben ist
$$E:\quad 2x_1-x_2-2x_3-5=0.$$
Aus den Koeffizienten folgt
$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix},\qquad \lVert\vec n\rVert=3.$$
Die Hessesche Normalform ist daher
$$E:\quad \frac13(2x_1-x_2-2x_3-5)=0.$$
Auch die Konstante $-5$ wird durch $3$ geteilt, denn die gesamte Gleichung wird normiert.
Wie berechnest du einen Punkt-Ebene-Abstand?
Sei $Q$ ein Punkt mit Ortsvektor $\vec q$. Für eine Ebene in Hessescher Normalform gilt
$$d(Q,E)=\left|\vec n_0\cdot(\vec q-\vec p)\right|.$$
Bei einer normierten Koordinatenform setzt du die Koordinaten des Punktes direkt für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ein. Die Betragsstriche sind wichtig: Ein geometrischer Abstand ist niemals negativ.
Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(2|1|2)$ von
$$E:\quad \frac13(2x_1-x_2-2x_3-5)=0.$$
Setze die Koordinaten von $P$ ein:
$$\frac13(2\cdot2-1-2\cdot2-5)=\frac13(-6)=-2.$$
Der eingesetzte Ausdruck ist negativ. Für den geometrischen Abstand bildest du den Betrag:
$$d(P,E)=|-2|=2.$$
Der Punkt hat also den Abstand $2$ Längeneinheiten von der Ebene.
Erst normieren, dann einsetzen, zuletzt den Betrag bilden.
Was verrät das Vorzeichen?
Ohne Betragsstriche erhältst du den vorzeichenbehafteten Abstandsausdruck
$$s=\vec n_0\cdot(\vec q-\vec p).$$
Sein Vorzeichen beschreibt, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt:
- $s>0$: Der Punkt liegt auf der Seite, in die $\vec n_0$ zeigt.
- $s=0$: Der Punkt liegt auf der Ebene.
- $s<0$: Der Punkt liegt auf der gegenüberliegenden Seite.
Kehrst du den Normaleneinheitsvektor um, ändert sich das Vorzeichen von $s$. Der geometrische Abstand $|s|$ bleibt jedoch gleich.
Es gibt zu einer Ebene zwei entgegengesetzte Normaleneinheitsvektoren: $\vec n_0$ und $-\vec n_0$. Beide beschreiben dieselbe Ebene. Eine Vorzeichenaussage ist deshalb nur zusammen mit der gewählten Orientierung sinnvoll.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Hessesche Normalform
- Voraussetzung
- Normalenvektor ist nicht der Nullvektor
- Normalenvektor hat nach dem Normieren die Länge 1
- Umwandlung
- Normalenvektor durch seine Länge teilen
- In der Koordinatenform die gesamte linke Seite teilen
- Punkt einsetzen
- Ergebnis 0 bedeutet: Punkt liegt auf der Ebene
- Vorzeichen kennzeichnet die orientierte Seite
- Betrag liefert den geometrischen Abstand
- Voraussetzung