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Abstand Punkt–Gerade berechnen: vier Wege
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der kürzesten Verbindung zwischen beiden. Diese Verbindung steht senkrecht auf der Geraden und endet dort im Lotfußpunkt.
Auf dieser Seite lernst du vier Wege für eine Gerade in Parameterform kennen. Dabei gilt stets
$$g:\vec x=\vec a+\lambda\vec b\quad\text{mit}\quad\vec b\ne\vec 0.$$
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Abstand?
Zu jedem Punkt der Geraden kannst du eine Verbindung zum gegebenen Punkt $P$ zeichnen. Die kürzeste dieser Verbindungen steht senkrecht auf der Geraden.
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt $F$ ist der Punkt auf der Geraden, für den der Verbindungsvektor zwischen $P$ und $F$ senkrecht zum Richtungsvektor $\vec b$ steht. Die Länge dieser Verbindung ist der Abstand $d(P,g)$.
Für senkrechte Vektoren ist das Skalarprodukt null. Deshalb gilt am Lotfußpunkt:
$$(\vec f-\vec p)\cdot\vec b=0.$$
Der Abstand ist anschließend die Länge des Lotvektors:
$$d(P,g)=\lVert\vec f-\vec p\rVert.$$
Ein Abstand ist immer eine nichtnegative Zahl. Liegt $P$ bereits auf $g$, sind Lotfußpunkt und Punkt identisch; dann ist $d(P,g)=0$.
Wie findest du den Lotfußpunkt?
Gegeben seien
$$P(1|-3|-3)$$
und
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}.$$
1. Allgemeinen Geradenpunkt ansetzen
Jeder Punkt auf $g$ hat die Form
$$F(\lambda)=\begin{pmatrix}2-\lambda\\1+3\lambda\\-3+\lambda\end{pmatrix}.$$
2. Verbindungsvektor bilden
Mit $\vec f-\vec p$ erhältst du
$$\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}1-\lambda\\4+3\lambda\\\lambda\end{pmatrix}.$$
Die umgekehrte Richtung wäre ebenfalls möglich, weil sie dieselbe Länge besitzt und ebenfalls senkrecht auf $g$ stehen muss.
3. Orthogonalität fordern
Der Lotvektor und der Richtungsvektor müssen ein Skalarprodukt von null haben:
$$\begin{pmatrix}1-\lambda\\4+3\lambda\\\lambda\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0.$$
Ausmultiplizieren ergibt
$$-(1-\lambda)+3(4+3\lambda)+\lambda=0,$$
also
$$11+11\lambda=0\quad\Rightarrow\quad\lambda=-1.$$
4. Lotfußpunkt bestimmen
Setze $\lambda=-1$ in die Gerade ein:
$$F=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}.$$
Beim Lotfußpunktverfahren bestimmst du zuerst den passenden Geradenparameter. Erst danach berechnest du die Länge der Verbindung.
Wie berechnest du die Länge des Lotes?
Für den gefundenen Lotfußpunkt $F(3|-2|-4)$ gilt
$$\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}3-1\\-2-(-3)\\-4-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}.$$
Die Länge dieses Vektors ist
$$d(P,g)=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6\ \text{LE}.$$
LE bedeutet Längeneinheiten. Als Dezimalzahl ist der Abstand ungefähr $2{,}45$ LE.
Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Der Abstand ist positiv und kleiner als die Entfernung vom Punkt $P$ zum Aufpunkt $A(2|1|-3)$. Diese Entfernung beträgt $\sqrt{17}$ LE. Das Ergebnis $\sqrt6$ LE ist damit plausibel.
Typische Fehler sind:
- den Parameter nicht wieder in die Gerade einzusetzen,
- nur den Lotfußpunkt anzugeben, obwohl der Abstand gefragt ist,
- bei der Vektorlänge das Quadrieren oder die Wurzel zu vergessen,
- einen Vektor statt einer nichtnegativen Zahl als Abstand anzugeben.
Welche anderen Rechenwege gibt es?
Direkte Formel mit dem Kreuzprodukt
Wenn nur der Abstand gefragt ist, kannst du im dreidimensionalen Raum direkt rechnen:
$$d(P,g)=\frac{\lVert(\vec p-\vec a)\times\vec b\rVert}{\lVert\vec b\rVert}.$$
Der Betrag des Kreuzprodukts beschreibt die Fläche eines Parallelogramms. Teilst du diese Fläche durch die Grundseitenlänge $\lVert\vec b\rVert$, erhältst du die zugehörige Höhe – also den Abstand.
Im Beispiel ist
$$\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}$$
und
$$\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\1\\-7\end{pmatrix}.$$
Damit folgt
$$d(P,g)=\frac{\sqrt{(-4)^2+1^2+(-7)^2}}{\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2}}=\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{11}}=\sqrt6\ \text{LE}.$$
Die Reihenfolge im Kreuzprodukt kann den Ergebnisvektor umkehren. Sein Betrag bleibt jedoch gleich.
Hilfsebene
Eine weitere Möglichkeit ist eine Ebene durch $P$, die senkrecht zur Geraden steht. Der Richtungsvektor $\vec b$ wird dabei zum Normalenvektor der Ebene:
$$E:(\vec x-\vec p)\cdot\vec b=0.$$
Der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ist der Lotfußpunkt. Dieses Verfahren ist besonders nützlich, wenn du das Schneiden einer Geraden mit einer Ebene üben oder den Lotfußpunkt geometrisch konstruieren möchtest.
Abstandsfunktion
Jeder Parameter $\lambda$ liefert einen Geradenpunkt und damit eine Entfernung zu $P$. Im Beispiel gilt
$$d^2(\lambda)=11\lambda^2+22\lambda+17=11(\lambda+1)^2+6.$$
Da ein Quadrat nie negativ ist, wird dieser Ausdruck für $\lambda=-1$ minimal. Somit ist
$$d_{\min}^2=6\quad\text{und}\quad d_{\min}=\sqrt6.$$
Du darfst $d^2(\lambda)$ statt $d(\lambda)$ minimieren: Für nichtnegative Längen wird mit dem Quadrat genau derselbe Parameter minimal. Am Ende musst du für den Abstand wieder die Wurzel ziehen.
So wählst du ein Verfahren
- Lotfußpunktverfahren: geeignet, wenn du Lotfußpunkt und Abstand brauchst.
- Kreuzproduktformel: meist kurz, wenn nur der 3D-Abstand gefragt ist.
- Hilfsebene: sinnvoll, wenn du Gerade–Ebene-Schnittrechnungen nutzen möchtest.
- Abstandsfunktion: geeignet, wenn du quadratische Funktionen oder Ableitungen einsetzen sollst.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Abstand Punkt–Gerade
- Geometrische Idee: kürzeste Verbindung steht senkrecht
- Lotfußpunkt: Orthogonalität liefert den Parameter
- Länge: Betrag des Lotvektors
- Kreuzprodukt: Fläche geteilt durch Grundseite
- Hilfsebene: Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt
- Abstandsfunktion: Minimum der quadrierten Entfernung
Abschluss-Check
Du beherrschst das Verfahren, wenn du den senkrechten Zusammenhang begründen, den Lotfußpunkt bestimmen und das Ergebnis als nichtnegative Länge im Sachzusammenhang angeben kannst.