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Abstand windschiefer Geraden berechnen
Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Länge ihrer kürzesten Verbindungsstrecke. Diese Strecke steht senkrecht auf beiden Geraden. Wenn nur der Abstand gesucht ist, führt die direkte Abstandsformel meist am schnellsten zum Ziel.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Windschiefe Geraden und ihre kürzeste Verbindung
Zwei Geraden im Raum sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind. Diese Lage gibt es nur im Raum, nicht in einer Ebene.
Für
$$g:\vec x=\vec p+r\vec u$$
und
$$h:\vec x=\vec q+s\vec v$$
prüfst du deshalb zwei Bedingungen:
- Die Richtungsvektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind keine Vielfachen voneinander. Die Geraden sind also nicht parallel.
- Die Gleichung $\vec p+r\vec u=\vec q+s\vec v$ besitzt keine Lösung. Die Geraden schneiden sich also nicht.
Nur der fehlende Parallelismus genügt nicht: Zwei nicht parallele Geraden könnten sich schneiden.
Gemeinsames Lot
Das gemeinsame Lot ist die Gerade, die beide windschiefen Geraden senkrecht schneidet. Der Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten ist die kürzeste Verbindungsstrecke. Seine Länge ist der Abstand der Geraden.
Die direkte Abstandsformel anwenden
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren liefert einen Vektor, der auf beiden Geradenrichtungen senkrecht steht:
$$\vec n=\vec u\times\vec v$$
Für windschiefe Geraden ist $\vec n\ne\vec 0$. Mit dem Verbindungsvektor der Stützpunkte $\vec q-\vec p$ gilt:
$$d(g,h)=\frac{|(\vec q-\vec p)\cdot\vec n|}{|\vec n|}$$
So gehst du vor:
- Berechne $\vec n=\vec u\times\vec v$.
- Kontrolliere $\vec n\cdot\vec u=0$ und $\vec n\cdot\vec v=0$.
- Bilde den Stützpunktverbindungsvektor $\vec q-\vec p$.
- Berechne das Skalarprodukt $(\vec q-\vec p)\cdot\vec n$.
- Teile dessen Betrag durch die Länge $|\vec n|$.
- Prüfe Einheit und Plausibilität des Ergebnisses.
Im Zähler steht ein Betrag, weil ein Abstand nie negativ ist. Im Nenner steht die Länge des Normalenvektors, nicht sein Quadrat.
Du darfst jedes von null verschiedene Vielfache von $\vec n$ verwenden. Der zusätzliche Faktor kürzt sich zwischen Zähler und Nenner heraus.
Ein vollständiges Beispiel durchrechnen
Gegeben sind die Geraden
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$$
und
$$h:\vec x=\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}.$$
Zuerst prüfen wir ihre Lage. Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen. Beim Gleichsetzen liefern die erste und dritte Koordinate $r=1$ und $s=-\frac13$. Diese Werte erfüllen die zweite Koordinate nicht. Die Geraden besitzen daher keinen Schnittpunkt und sind windschief.
Nun berechnen wir das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$$\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\6\\-10\end{pmatrix}.$$
Wir wählen das einfachere Vielfache
$$\vec n=\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}.$$
Die Kontrolle bestätigt die Orthogonalität:
$$\vec n\cdot\vec u=4-9+5=0$$
und
$$\vec n\cdot\vec v=12+3-15=0.$$
Der Verbindungsvektor der Stützpunkte ist
$$\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-9\\0\end{pmatrix}.$$
Nun setzen wir in die Abstandsformel ein:
$$d(g,h)=\frac{\left|\begin{pmatrix}2\\-9\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+5^2}}$$
$$d(g,h)=\frac{|8+27+0|}{\sqrt{50}}=\frac{35}{\sqrt{50}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4{,}95\ \mathrm{LE}.$$
Der Abstand der Geraden beträgt somit ungefähr $4{,}95$ Längeneinheiten.
Formel verstehen und passende Methode wählen
Die direkte Formel lässt sich mit einer Hilfsebene erklären. Die Ebene
$$E:\vec x=\vec p+t\vec u+a\vec v$$
enthält $g$ und ist zu $h$ parallel. Ihr Normalenvektor ist $\vec n=\vec u\times\vec v$. Deshalb entspricht der Abstand von $g$ zu $h$ dem Abstand des Stützpunkts $Q$ von $h$ zur Ebene $E$.
Eine zweite Deutung nutzt ein Parallelepiped: $|\vec u\times\vec v|$ ist die Grundfläche und $|(\vec q-\vec p)\cdot(\vec u\times\vec v)|$ das Volumen. Volumen geteilt durch Grundfläche ergibt die Höhe – also den Geradenabstand.
Welche Methode passt zu deiner Aufgabe?
- Nur der Abstand ist gesucht: Verwende die direkte Formel.
- Eine Ebene soll genutzt werden: Lege durch eine Gerade eine zur anderen Geraden parallele Hilfsebene und berechne einen Punkt-Ebene-Abstand.
- Die nächstgelegenen Punkte sind gesucht: Verwende laufende Punkte $G(r)$ und $H(s)$. Setze ihren Verbindungsvektor zu beiden Richtungsvektoren orthogonal.
Beim Verfahren mit laufenden Punkten gilt:
$$\vec w(r,s)=H(s)-G(r)$$
$$\vec w(r,s)\cdot\vec u=0,\qquad \vec w(r,s)\cdot\vec v=0.$$
Das entstehende lineare Gleichungssystem liefert die Parameter der beiden Lotfußpunkte. Die Länge ihres Verbindungsvektors ist der Abstand.
Ein negativer Zwischenwert im Skalarprodukt ist möglich. Erst der Betrag macht daraus einen nicht negativen Abstand. Ein negatives Endergebnis zeigt daher, dass der Betrag vergessen wurde.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Abstand windschiefer Geraden
- Lage prüfen: nicht parallel und kein Schnittpunkt
- Geometrie: gemeinsames Lot als kürzeste Verbindung
- Normalenvektor: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
- Direkte Formel: Betrag des Skalarprodukts durch Normalenlänge
- Hilfsebene: eine Gerade enthalten und zur anderen parallel
- Lotfußpunkte: laufende Punkte und Orthogonalitätsbedingungen
- Kontrolle: Orthogonalität, Betrag, Einheit und Plausibilität
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du nicht nur die Rechnung, sondern auch die geometrische Idee hinter der Formel.