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Lot fällen und errichten: Anleitung und Übungen
Liegt der vorgegebene Punkt auf der Geraden, errichtest du dort ein Lot. Liegt er außerhalb, fällst du von ihm ein Lot auf die Gerade. In beiden Fällen entsteht eine Gerade, die die Ausgangsgerade im rechten Winkel schneidet.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Lot und Fußpunkt verstehen
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen Winkel von 90° bilden. Fachsprachlich heißen solche Geraden orthogonal.
Lot
Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke, die senkrecht auf einer gegebenen Geraden steht.
Schneidet die Lotgerade die Ausgangsgerade im Punkt $F$, dann heißt $F$ Lotfußpunkt oder kurz Fußpunkt. Der Teil zwischen dem Ausgangspunkt und $F$ ist die Lotstrecke.
Ein rechter Winkel am Schnittpunkt ist das entscheidende Merkmal eines Lots.
Errichten oder fällen?
Die Lage des vorgegebenen Punktes bestimmt den passenden Ausdruck.
- Liegt $P$ auf der Geraden $g$, wird das Lot in $P$ errichtet.
- Liegt $P$ nicht auf $g$, wird das Lot von $P$ auf $g$ gefällt.
Beim Fällen liegt der spätere Fußpunkt $F$ auf $g$. Der Ausgangspunkt $P$ und der Fußpunkt $F$ sind dann verschiedene Punkte.
Auf einer geraden Straße ist ein Punkt $P$ markiert. Eine Seitenstraße soll dort im rechten Winkel abzweigen. Weil $P$ auf der Straße liegt, wird das Lot in $P$ errichtet.
Steht ein Baum bei $P$ neben der Straße und du suchst den kürzesten geraden Weg zur Straße, liegt $P$ außerhalb. Deshalb fällst du von $P$ ein Lot auf die Straße.
Mit dem Geodreieck konstruieren
Mit dem Geodreieck nutzt du seine Grundlinie und die dazu senkrechte 90°-Markierung.
Lot in einem Punkt errichten
- Lege die Grundlinie des Geodreiecks genau auf $g$.
- Verschiebe das Geodreieck, bis die senkrechte 90°-Linie durch $P$ verläuft.
- Zeichne durch $P$ entlang dieser Linie.
- Markiere den rechten Winkel am Schnittpunkt.
Lot von einem Punkt fällen
- Lege die Grundlinie des Geodreiecks genau auf $g$.
- Verschiebe es parallel zu $g$, bis die senkrechte 90°-Linie durch den außerhalb liegenden Punkt $P$ verläuft.
- Zeichne durch $P$ bis über $g$ hinweg.
- Bezeichne den Schnittpunkt mit $g$ als $F$.
Je nach Bauform des Geodreiecks können die Markierungen anders aussehen. Prüfe deshalb zuerst, welche Linie oder Kante laut 90°-Markierung senkrecht zur angelegten Grundlinie verläuft.
Lege sorgfältig an und verschiebe das Geodreieck, ohne es zu drehen. Schon eine kleine Verdrehung verändert den Winkel.
Lot mit Zirkel errichten
Gegeben sind eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ auf $g$.
- Stich den Zirkel in $P$ ein und zeichne einen Kreisbogen, der $g$ auf beiden Seiten von $P$ schneidet.
- Nenne die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$. Beide sind gleich weit von $P$ entfernt.
- Öffne den Zirkel weiter als die Hälfte der Strecke zwischen $S_1$ und $S_2$.
- Zeichne mit unveränderter Zirkelöffnung je einen Kreisbogen um $S_1$ und $S_2$.
- Markiere einen Schnittpunkt der beiden Kreisbögen mit $K$.
- Zeichne die Gerade durch $P$ und $K$.
Da $S_1$ und $S_2$ durch denselben Kreis um $P$ entstanden sind, ist $P$ von beiden Punkten gleich weit entfernt. Auch $K$ hat zu $S_1$ und $S_2$ den gleichen Abstand, weil die Kreisbögen mit derselben Zirkelöffnung gezeichnet wurden.
Die Gerade durch zwei Punkte, die von $S_1$ und $S_2$ gleich weit entfernt sind, ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen $S_1$ und $S_2$. Deshalb steht die Gerade $PK$ senkrecht auf $g$.
Die beiden Kreisbögen um $S_1$ und $S_2$ müssen dieselbe Zirkelöffnung haben und sich schneiden. Ist der Radius zu klein, entsteht kein Schnittpunkt $K$.
Lot mit Zirkel fällen
Gegeben sind eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ außerhalb von $g$.
- Stich den Zirkel in $P$ ein.
- Wähle den Radius so groß, dass der Kreis $g$ in zwei Punkten schneidet. Nenne sie $A$ und $B$.
- Zeichne mit dem Abstand $AP$ einen Kreisbogen um $A$.
- Zeichne mit unveränderter Zirkelöffnung einen Kreisbogen um $B$.
- Die beiden Bögen schneiden sich in $P$ und in einem zweiten Punkt $Q$.
- Zeichne die Gerade durch $P$ und $Q$.
- Markiere ihren Schnittpunkt mit $g$ als Fußpunkt $F$.
Der erste Kreis zeigt: $PA$ und $PB$ sind gleich lang. Die beiden folgenden Kreisbögen zeigen außerdem: $QA$ und $QB$ sind gleich lang.
Damit sind sowohl $P$ als auch $Q$ von $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Die Gerade $PQ$ ist deshalb die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen $A$ und $B$. Da diese Strecke auf $g$ liegt, steht $PQ$ senkrecht auf $g$.
Lotstrecke und Abstand
Beim Fällen eines Lots verbindet die Lotstrecke den außerhalb liegenden Punkt $P$ mit dem Fußpunkt $F$ auf $g$.
Diese Strecke ist die kürzeste Verbindung von $P$ zur Geraden $g$. Ihre Länge ist der Abstand des Punktes von der Geraden. Eine schräg verlaufende Strecke von $P$ zu einem anderen Punkt auf $g$ ist länger.
Verwechsle das Lot nicht mit der Mittelsenkrechten einer vorgegebenen Strecke:
- Ein Lot kann in jedem Punkt einer Geraden errichtet werden.
- Eine Mittelsenkrechte verläuft durch den Mittelpunkt einer bestimmten Strecke.
- Bei der Zirkelkonstruktion wird eine Hilfsstrecke erzeugt, deren Mittelsenkrechte das gesuchte Lot ist.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Liegt $P$ auf $g$, wird das Lot . Liegt $P$ außerhalb von $g$, wird es . Der Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt . Die Länge der Lotstrecke gibt den von $P$ zu $g$ an.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lot konstruieren
- Kennzeichen: rechter Winkel von 90°
- Punkt auf der Geraden: Lot errichten
- Punkt außerhalb: Lot fällen
- Hilfsmittel: Geodreieck oder Zirkel und Lineal
- Schnittpunkt mit der Geraden: Lotfußpunkt
- Länge der Lotstrecke: Abstand
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss deine eigene Konstruktion: Verläuft die neue Gerade durch den vorgegebenen Punkt? Schneidet sie die Ausgangsgerade im rechten Winkel? Wenn beides stimmt, hast du das Lot korrekt errichtet oder gefällt.