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Amplitude berechnen und am Graphen erkennen
Die Amplitude gibt an, wie weit eine Sinus- oder Kosinuskurve höchstens von ihrer mittleren Lage ausschlägt. Im Funktionsterm erkennst du sie am Betrag des äußeren Faktors; aus einem Graphen berechnest du sie als halben Abstand zwischen Maximum und Minimum.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt die Amplitude?
Stell dir eine Sinuskurve als Schwingung um eine mittlere Höhe vor. Diese mittlere Höhe heißt Ruhelage. Die Amplitude ist der größte senkrechte Abstand zwischen der Kurve und dieser Ruhelage.
Amplitude
Die Amplitude ist die maximale Auslenkung einer Sinus- oder Kosinusfunktion von ihrer Ruhelage. Weil sie einen Abstand beschreibt, ist sie nie negativ.
Für $f(x)=\sin(x)$ liegt die Ruhelage bei $y=0$. Der größte Funktionswert ist $1$, der kleinste $-1$. Beide liegen genau eine Einheit von der Ruhelage entfernt. Die Amplitude beträgt deshalb $1$.
Dasselbe gilt für $f(x)=\cos(x)$. Auch diese Funktion schwingt zwischen $-1$ und $1$ um die Ruhelage $y=0$.
Die gesamte Höhe zwischen dem tiefsten und dem höchsten Punkt umfasst zwei Amplituden.
Wie liest du die Amplitude am Term ab?
Eine allgemeine Sinusfunktion kann so aussehen:
$$f(x)=a\sin(bx+c)+d$$
Für die Amplitude ist der äußere Faktor $a$ entscheidend:
$$A=|a|$$
Die Betragsstriche bedeuten: Verwende den nicht negativen Abstand von $a$ zu $0$. Bei $a=-1$ ist die Amplitude daher $|-1|=1$ und nicht $-1$.
- Für $|a|>1$ wird der Graph in senkrechter Richtung gestreckt.
- Für $0<|a|<1$ wird er in senkrechter Richtung gestaucht.
- Für $a<0$ wird er zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
Die Spiegelung verändert die Richtung der Ausschläge, aber nicht ihre Größe.
Gegeben ist
$$f(x)=3\sin(4x-1)+2.$$
- Der äußere Faktor ist $a=3$.
- Sein Betrag ist $|3|=3$.
- Die Amplitude beträgt deshalb $A=3$.
- Der Summand $+2$ verschiebt die Ruhelage auf $y=2$, verändert aber die Amplitude nicht.
Die Kurve erreicht damit Ausschläge von drei Einheiten über und unter ihrer Ruhelage.
Wie berechnest du Amplitude und Ruhelage am Graphen?
Kennst du den größten Funktionswert $f_{max}$ und den kleinsten Funktionswert $f_{min}$, liegt die Ruhelage genau in deren Mitte:
$$R=\frac{f_{max}+f_{min}}{2}$$
Die Amplitude ist die Hälfte ihres Abstandes:
$$A=\frac{f_{max}-f_{min}}{2}$$
Ein sinusförmiger Graph hat den größten Funktionswert $0$ und den kleinsten Funktionswert $-10$.
Zuerst berechnest du die Ruhelage:
$$R=\frac{0+(-10)}{2}=-5$$
Dann berechnest du die Amplitude:
$$A=\frac{0-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5$$
Probe: Der Abstand von der Ruhelage $-5$ zum Maximum $0$ beträgt $5$. Auch der Abstand von $-5$ zum Minimum $-10$ beträgt $5$.
Ergebnis: Die Ruhelage ist $y=-5$, die Amplitude ist $5$.
Addiere Maximum und Minimum, um ihre Mitte zu finden. Subtrahiere das Minimum vom Maximum und halbiere, um die Amplitude zu erhalten.
Welche Verwechslungen solltest du vermeiden?
Amplitude und Ruhelage sind nicht dasselbe. Bei $f(x)=\sin(x)+1$ liegt die Ruhelage bei $y=1$, die Amplitude bleibt aber $1$. Die Verschiebung hebt den gesamten Graphen an, ohne die Größe seiner Ausschläge zu ändern.
Der Faktor und die Amplitude können verschiedene Vorzeichen haben. Bei einem negativen äußeren Faktor wird der Graph gespiegelt. Die Amplitude bleibt als Betrag nicht negativ.
Nicht jede trigonometrische Funktion besitzt eine Amplitude. Die Tangensfunktion nimmt neben ihren Definitionslücken Werte mit beliebig großem Betrag an. Sie hat deshalb keinen größten Abstand von ihrer Ruhelage und somit keine Amplitude.
Andere Parameter erfüllen andere Aufgaben. In $a\sin(bx+c)+d$ bestimmt $|a|$ die Amplitude. Der Summand $d$ verschiebt die Ruhelage. Veränderungen im Inneren der Sinusfunktion ändern nicht den Wert $|a|$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Amplitude
- Bedeutung: maximale Auslenkung von der Ruhelage
- Am Term: Betrag des äußeren Faktors
- Am Graphen: halber Abstand zwischen Maximum und Minimum
- Negativer Faktor: Spiegelung ohne negative Amplitude
- Verschiebung: neue Ruhelage bei gleicher Amplitude
- Tangens: keine Amplitude wegen unbegrenzter Werte
Abschluss-Check
Du kannst die Amplitude nun auf zwei Wegen bestimmen: Am Term nimmst du den Betrag des äußeren Faktors, am Graphen halbierst du den Abstand zwischen Maximum und Minimum. Prüfe dabei immer, ob du wirklich die Auslenkung und nicht die Ruhelage oder die gesamte Höhe berechnet hast.