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Periode bei Dezimalzahlen einfach erklärt
Eine Periode ist eine Ziffer oder Zifferngruppe, die sich nach dem Komma unendlich oft wiederholt. Der Periodenstrich zeigt dir genau, welche Ziffern sich wiederholen.
Auf dieser Seite lernst du, periodische Dezimalzahlen zu erkennen, zu unterscheiden und in Brüche umzuwandeln.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Periodische Dezimalzahlen erkennen
Bei $0{,}454545\ldots$ wiederholt sich die Zifferngruppe $45$ unendlich oft. Kurz schreibst du:
$$0{,}\overline{45}$$
Der Strich steht nur über den Ziffern der Periode. Die Periodenlänge ist die Anzahl dieser Ziffern. Bei $0{,}\overline{45}$ beträgt sie $2$.
Vorperiode
Die Vorperiode besteht aus den nichtperiodischen Ziffern zwischen dem Komma und dem Beginn der Periode.
Es gibt zwei Arten:
- reinperiodisch: Die Periode beginnt direkt nach dem Komma, zum Beispiel $0{,}\overline{23}$.
- gemischtperiodisch: Vor der Periode stehen eine oder mehrere nichtperiodische Ziffern, zum Beispiel $0{,}1\overline{6}$.
Bei $0{,}1\overline{6}=0{,}1666\ldots$ ist $1$ die Vorperiode und $6$ die Periode. Die Ziffernfolge $16$ ist nicht die Periode, weil sich die $1$ nicht wiederholt.
Frage dich: Welche Ziffern erscheinen immer wieder? Nur über diesen Ziffern steht der Periodenstrich.
Reinperiodische Zahlen als Brüche schreiben
Bei einer reinperiodischen Zahl zwischen $0$ und $1$ wird die Periode zum Zähler. Der Nenner enthält genauso viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat:
- eine Periodenziffer: Nenner $9$
- zwei Periodenziffern: Nenner $99$
- drei Periodenziffern: Nenner $999$
Wandle $0{,}\overline{23}$ in einen Bruch um.
Die Periode $23$ hat zwei Ziffern. Deshalb lautet der Nenner $99$:
$$0{,}\overline{23}=\frac{23}{99}$$
Warum funktioniert das? Setze $x=0{,}\overline{23}$. Durch die Multiplikation mit $100$ verschiebt sich das Komma um eine vollständige Periode:
$$100x=23{,}\overline{23}$$
Subtrahierst du $x=0{,}\overline{23}$, verschwinden die gleichen periodischen Nachkommastellen:
$$100x-x=23$$
$$99x=23$$
$$x=\frac{23}{99}$$
Eine Null am Anfang der Periode zählt bei ihrer Länge mit. Daher gilt:
$$0{,}\overline{089}=\frac{89}{999}$$
Die als ganze Zahl gelesene Ziffernfolge $089$ ergibt den Zähler $89$. Weil die Periode drei Ziffern besitzt, stehen im Nenner drei Neunen.
Gemischtperiodische Zahlen umwandeln
Bei einer gemischtperiodischen Zahl verschiebst du zuerst das Komma so weit nach rechts, dass die Periode direkt dahinter beginnt. Danach wandelst du die entstandene reinperiodische Zahl um und machst die Verschiebung rückgängig.
Wandle $0{,}4\overline{6}$ in einen Bruch um.
- Die Vorperiode hat eine Ziffer. Multipliziere deshalb mit $10$:
$$0{,}4\overline{6}\cdot 10=4{,}\overline{6}$$
- Zerlege die entstandene Zahl in Ganzzahl- und Periodenteil:
$$4{,}\overline{6}=4+0{,}\overline{6}=\frac{36}{9}+\frac{6}{9}=\frac{42}{9}$$
- Mache die Multiplikation mit $10$ durch eine Division rückgängig:
$$\frac{42}{9}:10=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$$
Damit gilt:
$$0{,}4\overline{6}=\frac{7}{15}$$
Hat die Vorperiode $m$ Ziffern, verschiebst du das Komma mit dem Faktor $10^m$. Am Ende teilst du durch denselben Faktor.
Endlich, periodisch oder nichtperiodisch?
Nicht jede Dezimalzahl gehört zur gleichen Art:
- $0{,}75$ ist in der üblichen Schreibweise endlich: Nach zwei Nachkommastellen endet sie.
- $0{,}\overline{3}$ ist unendlich periodisch: Die Ziffer $3$ wiederholt sich ohne Ende.
- Eine unendlich lange Dezimalzahl ohne wiederkehrende Periode ist irrational und lässt sich nicht als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben.
Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen. Deshalb ist sie eine rationale Zahl.
Eine besondere Gleichheit lautet $0{,}\overline{9}=1$. Setzt du $x=0{,}\overline{9}$, folgt aus $10x-x=9$, dass $9x=9$ und damit $x=1$ ist. Die beiden Schreibweisen bezeichnen also dieselbe Zahl.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Periodische Dezimalzahlen
- Erkennen: Ziffern wiederholen sich unendlich oft
- Schreiben: Periodenstrich markiert die Wiederholung
- Unterscheiden: reinperiodisch oder gemischtperiodisch
- Beschreiben: Vorperiode und Periodenlänge
- Umwandeln: Komma verschieben, als Bruch schreiben, Verschiebung rückgängig machen
- Einordnen: periodische Dezimalzahlen sind rational
Abschluss-Check
Du kannst eine Periode nun am Wiederholungsmuster erkennen, ihre Art bestimmen und die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln. Prüfe dabei immer zuerst, wo die Wiederholung beginnt und wie viele Ziffern sie umfasst.