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Sinusfunktion und Kosinusfunktion einfach erklärt
Sinus und Kosinus ordnen jedem Winkel eine Zahl zwischen $-1$ und $1$ zu. Ihre Graphen wiederholen sich nach $2\pi$ und beschreiben deshalb periodische Vorgänge wie Schwingungen. Du lernst, beide Grundgraphen zu unterscheiden, veränderte Funktionen zu untersuchen und einfache periodische Modelle aufzustellen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Einheitskreis zur Kurve
Stell dir einen Punkt $P$ vor, der sich auf einem Kreis mit Radius $1$ bewegt. Dieser Kreis heißt Einheitskreis. Der Winkel $x$ wird von der positiven waagerechten Achse aus gemessen.
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Für den Kreispunkt $P=(x_P,y_P)$ gilt:
$$\cos x=x_P,\qquad \sin x=y_P$$
Der Kosinus ist also die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte Koordinate des Punktes.
Bei einer vollen Umdrehung kehrt der Punkt an seine Ausgangsstelle zurück. Deshalb wiederholen sich auch seine Koordinaten:
$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$
$$\cos(x+2\pi)=\cos x$$
Das Bogenmaß gibt Winkel durch die zugehörige Bogenlänge am Einheitskreis an. Die wichtigsten Umrechnungen sind:
$$2\pi=360^\circ,\qquad \pi=180^\circ,\qquad \frac{\pi}{2}=90^\circ$$
Bei $30^\circ$ und $150^\circ$ liegt der Kreispunkt auf derselben Höhe. Daher gilt:
$$\sin 30^\circ=\sin 150^\circ=0{,}5$$
Allgemein folgt aus dieser Spiegelung an der senkrechten Achse:
$$\sin x=\sin(\pi-x)$$
Die beiden Grundgraphen sicher unterscheiden
Die Grundfunktionen lauten:
$$f(x)=\sin x,\qquad g(x)=\cos x$$
Für beide gilt:
- Definitionsbereich: $D=\mathbb R$
- Wertebereich: $W=[-1,1]$
- Periodenlänge: $2\pi$
Der Sinus startet bei $(0,0)$ und steigt zunächst. Der Kosinus startet bei $(0,1)$ und fällt zunächst. Beide Kurven haben dieselbe Form, sind aber um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben:
$$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
$$\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Nullstellen und Extrempunkte
Für alle ganzen Zahlen $k\in\mathbb Z$ gilt:
| Eigenschaft | Sinus | Kosinus |
|---|---|---|
| Nullstellen | $x=k\pi$ | $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ |
| Maximalwert $1$ | $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ | $x=2k\pi$ |
| Minimalwert $-1$ | $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ | $x=\pi+2k\pi$ |
$k$ muss eine ganze Zahl sein, damit die Formeln auch alle Stellen links vom Ursprung erfassen.
Symmetrie
Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung:
$$\sin(-x)=-\sin x$$
Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse:
$$\cos(-x)=\cos x$$
Sinus startet bei $0$, Kosinus bei $1$. Der Kosinus läuft dem Sinus um eine Viertelperiode voraus.
So verändern vier Parameter den Graphen
Eine gut lesbare Form für veränderte Sinus- und Kosinusfunktionen ist:
$$f(x)=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d$$
$$g(x)=a\cos\bigl(b(x-c)\bigr)+d$$
Für $a\ne0$ und $b\ne0$ bedeuten die Parameter:
- $|a|$ ist die Amplitude. Sie misst den Abstand von der Mittellinie zum höchsten oder tiefsten Wert. Bei $a<0$ wird die Kurve zusätzlich an ihrer Mittellinie gespiegelt.
- $b$ bestimmt die Periodenlänge $p$. Es gilt $p=\frac{2\pi}{|b|}$.
- $c$ verschiebt den Graphen waagerecht. Bei $x-c$ erfolgt die Verschiebung um $c$ nach rechts.
- $d$ verschiebt den Graphen senkrecht. Die neue Mittellinie lautet $y=d$.
Der Wertebereich ist:
$$W=[d-|a|,\ d+|a|]$$
In der Form $a\sin(bx+c)+d$ ist die waagerechte Verschiebung nicht einfach $c$. Weil $bx+c=b\left(x+\frac cb\right)$ gilt, beträgt sie $-\frac cb$. Prüfe deshalb zuerst, in welcher Form die Gleichung vorliegt.
Untersuche
$$f(x)=2\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+2$$
- $a=2$: Die Amplitude beträgt $2$.
- $b=2$: Die Periode beträgt $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
- $c=\frac{\pi}{4}$: Der Graph ist um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben.
- $d=2$: Die Mittellinie ist $y=2$.
- Der Wertebereich reicht von $2-2=0$ bis $2+2=4$, also $W=[0,4]$.
Zum Skizzieren markierst du die Mittellinie und gehst ab $x=\frac{\pi}{4}$ in Vierteln der neuen Periode weiter. Eine Viertelperiode ist $\frac{\pi}{4}$.
Einen periodischen Vorgang modellieren
Bei einem periodischen Vorgang wiederholt sich ein Zustand nach einer festen Zeit. Für ein Modell musst du vier Fragen beantworten:
- Wo liegt die Mittellinie?
- Wie groß ist der Ausschlag von der Mittellinie?
- Wie lange dauert eine vollständige Wiederholung?
- An welcher Stelle des Zyklus beginnt der Vorgang?
Die Höhe eines gleichmäßig schwingenden Punktes werde durch
$$h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+4$$
beschrieben. Dabei werden $t$ in Sekunden und $h(t)$ in Metern gemessen.
- Die Mittellinie liegt bei $4\,\text{m}$.
- Die Amplitude beträgt $3\,\text{m}$.
- Die Höhe schwankt zwischen $1\,\text{m}$ und $7\,\text{m}$.
- Aus $b=\frac{\pi}{2}$ folgt:
$$p=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\,\text{s}$$
Zur Kontrolle betrachten wir eine Periode:
| Zeit $t$ | Höhe $h(t)$ | Bedeutung |
|---|---|---|
| $0\,\text{s}$ | $4\,\text{m}$ | Mittellinie, Bewegung nach oben |
| $1\,\text{s}$ | $7\,\text{m}$ | höchster Punkt |
| $2\,\text{s}$ | $4\,\text{m}$ | Mittellinie, Bewegung nach unten |
| $3\,\text{s}$ | $1\,\text{m}$ | tiefster Punkt |
| $4\,\text{s}$ | $4\,\text{m}$ | neuer Zyklus beginnt |
Eine passende Formel allein reicht nicht: Deute Amplitude, Mittellinie und Periode immer mit Größen und Einheiten im Sachzusammenhang.
Vertiefung: Sinus und Kosinus in der Analysis
Die folgenden Ableitungs- und Stammfunktionsregeln gelten in dieser einfachen Form für Winkel im Bogenmaß:
$$(\sin x)'=\cos x$$
$$(\cos x)'=-\sin x$$
$$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$
$$\int\cos x\,dx=\sin x+C$$
Bei den Ableitungen entsteht ein Viererzyklus:
$$\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x$$
Bei einer verketteten Funktion musst du zusätzlich die innere Funktion ableiten.
Für $f(x)=2\sin(3x)$ ist die innere Funktion $3x$ mit der Ableitung $3$. Daher:
$$f'(x)=2\cdot3\cos(3x)=6\cos(3x)$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sinus- und Kosinusfunktionen
- Einheitskreis: Sinus ist Höhe, Kosinus ist waagerechte Koordinate
- Grundgraphen: Werte von $-1$ bis $1$, Periode $2\pi$
- Beziehung: Verschiebung um eine Viertelperiode
- Parameter: Amplitude, Periode, Phase und Mittellinie
- Modellierung: Größen und Einheiten im Kontext deuten
- Analysis: Ableiten und Integrieren im Bogenmaß
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, kannst du Grundgraphen erkennen, Parameter deuten und eine passende Sinusfunktion aus Eigenschaften zusammensetzen.