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Sinus und Cosinus ableiten – Regeln und Beispiele
Im Bogenmaß gilt: Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$. Steht im Sinus oder Cosinus ein zusammengesetzter Ausdruck, brauchst du zusätzlich die Kettenregel.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die beiden Grundregeln verstehen
Die Grundregeln lauten:
$$(\sin x)'=\cos x$$
$$(\cos x)'=-\sin x$$
Der wichtigste Unterschied ist das Minuszeichen bei der Cosinusableitung. Wiederholtes Ableiten ergibt einen Zyklus aus vier Schritten:
$$\sin x\longrightarrow\cos x\longrightarrow-\sin x\longrightarrow-\cos x\longrightarrow\sin x$$
Danach beginnt der Ablauf von vorn.
Diese Formeln gelten in dieser einfachen Form, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Bei Winkelangaben in Grad musst du zuerst ins Bogenmaß umrechnen.
Für $f(x)=\sin x+\cos x$ leitest du beide Summanden einzeln ab:
$$f'(x)=\cos x-\sin x$$
Das Minus entsteht nur beim Ableiten von $\cos x$.
Mit der Kettenregel ableiten
Bei $f(x)=\sin(g(x))$ ist $g(x)$ die innere Funktion. Du leitest außen ab, lässt den inneren Ausdruck zunächst stehen und multiplizierst dann mit seiner Ableitung:
$$f'(x)=g'(x)\cos(g(x))$$
Für eine verkettete Cosinusfunktion gilt entsprechend:
$$\bigl(\cos(g(x))\bigr)'=-g'(x)\sin(g(x))$$
Gegeben ist $f(x)=\sin(3x^2+x)$.
- Äußere Funktion ableiten: Aus Sinus wird Cosinus. Der innere Ausdruck bleibt zunächst erhalten: $\cos(3x^2+x)$.
- Innere Funktion ableiten: $(3x^2+x)'=6x+1$.
- Beide Teile multiplizieren:
$$f'(x)=(6x+1)\cos(3x^2+x)$$
Der Faktor $6x+1$ darf nicht fehlen.
Regeln kombinieren und eine Modellform ableiten
Summen und konstante Faktoren behandelst du wie bei anderen Funktionen: Du leitest Summanden einzeln ab, konstante Faktoren bleiben stehen.
Für $f(x)=3\sin(2x-1)+4$ gilt:
- Der Faktor $3$ bleibt stehen.
- Die innere Funktion $2x-1$ hat die Ableitung $2$.
- Die Konstante $4$ hat die Ableitung $0$.
Daher:
$$f'(x)=3\cdot2\cos(2x-1)=6\cos(2x-1)$$
Bei einer allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$ folgt genauso:
$$f'(x)=ab\cos(b(x-c))$$
Die Verschiebung $d$ verschwindet beim Ableiten, während $a$ und die innere Ableitung $b$ als Faktoren bleiben.
Auch Potenz- und Kettenregel können zusammen auftreten. Bei $f(x)=\cos^2x$, also $f(x)=(\cos x)^2$, ergibt sich:
$$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x$$
Typische Fehler gezielt vermeiden
Achte beim Ableiten auf drei Fragen:
- Ist die äußere Funktion Sinus oder Cosinus?
- Was steht vollständig in der Klammer und ist damit die innere Funktion?
- Welche weitere Regel brauchst du, etwa Summen-, Faktor- oder Potenzregel?
Außen ableiten, innen stehen lassen, mit der inneren Ableitung multiplizieren. Beim Cosinus kommt zusätzlich das Minuszeichen hinzu.
Verwechsle nicht $\sin(x^2)$ mit $\sin^2x$:
- Bei $\sin(x^2)$ steht $x^2$ im Sinus. Daher ist die Ableitung $2x\cos(x^2)$.
- Bei $\sin^2x=(\sin x)^2$ wird der ganze Sinus quadriert. Daher ist die Ableitung $2\sin x\cos x$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Ableiten von $\sin(g(x))$ wird Sinus zu . Danach wird mit der multipliziert. Beim Ableiten von Cosinus gehört ein vor den Sinus.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sinus und Cosinus ableiten
- Grundregeln: Sinus wird Cosinus, Cosinus wird negativer Sinus
- Voraussetzung: Winkel im Bogenmaß
- Kettenregel: außen ableiten und mit der inneren Ableitung multiplizieren
- Weitere Regeln: Summen, Faktoren und Potenzen passend mitführen
- Fehlerkontrolle: Minuszeichen und innere Ableitung prüfen
- Wiederholtes Ableiten: Viererzyklus