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Tangens ableiten: Formel, Herleitung und Kettenregel
Die Ableitung von $f(x)=\tan(x)$ lautet
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$$
Diese Formel gilt an allen Stellen, an denen der Tangens definiert ist. Winkel werden beim Ableiten im Bogenmaß betrachtet. Du lernst nun, die Formel zu begründen und auf verkettete Funktionen sowie Produkte anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Grundformel erkennen
Für die Grundfunktion
$$f(x)=\tan(x)$$
ist die Ableitung
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.$$
Dabei bedeutet $\cos^2(x)$ dasselbe wie $(\cos(x))^2$. Eine gleichwertige Schreibweise ist
$$f'(x)=1+\tan^2(x).$$
Die Ableitung des Tangens ist positiv, wo sie definiert ist: Ein Quadrat kann nicht negativ sein, und sein Kehrwert ist positiv.
Die Formel mit der Quotientenregel herleiten
Der Tangens lässt sich als Quotient schreiben:
$$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$$
Für einen Quotienten $\frac{u}{v}$ gilt:
$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$
Setze $u(x)=\sin(x)$ und $v(x)=\cos(x)$. Dann sind
$$u'(x)=\cos(x)$$
und
$$v'(x)=-\sin(x).$$
Nun setzt du alles in die Quotientenregel ein:
$$\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}.$$
Das Minus vor dem zweiten Produkt und das Minus aus der Kosinusableitung ergeben ein Plus:
$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.$$
Mit $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ folgt schließlich
$$\left(\tan(x)\right)'=\frac{1}{\cos^2(x)}.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Schreibt man den Tangens als Quotient, steht im Zähler zunächst und im Nenner . Beim Ableiten des Kosinus entsteht ein . Der Ausdruck $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ wird zu vereinfacht.
Verkettete Tangensfunktionen ableiten
Steht im Tangens nicht nur $x$, sondern eine innere Funktion $g(x)$, brauchst du die Kettenregel:
$$f(x)=\tan(g(x))$$
führt zu
$$f'(x)=\frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}.$$
Du leitest also außen den Tangens ab, lässt dabei $g(x)$ im Kosinus stehen und multiplizierst mit der inneren Ableitung $g'(x)$.
Gegeben ist
$$f(x)=\tan(3x^2-4).$$
Die innere Funktion lautet $g(x)=3x^2-4$. Ihre Ableitung ist $g'(x)=6x$. Daher gilt
$$f'(x)=\frac{6x}{\cos^2(3x^2-4)}.$$
Der Faktor $6x$ ist notwendig, weil sich auch das Argument $3x^2-4$ verändert.
Tangens mit weiteren Regeln kombinieren
Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Für
$$f(x)=2\tan(5x)$$
bleibt der Faktor $2$ stehen. Die innere Ableitung von $5x$ ist $5$:
$$f'(x)=2\cdot\frac{5}{\cos^2(5x)}=\frac{10}{\cos^2(5x)}.$$
Bei einem Produkt brauchst du zusätzlich die Produktregel
$$(u\cdot v)'=u'v+uv'.$$
Für
$$f(x)=x^2\tan(x)$$
wählst du $u(x)=x^2$ und $v(x)=\tan(x)$. Damit sind $u'(x)=2x$ und $v'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$. Also:
$$f'(x)=2x\tan(x)+\frac{x^2}{\cos^2(x)}.$$
Beide Summanden sind nötig: Im ersten wird $x^2$ abgeleitet, im zweiten der Tangens.
Definitionsbereich und typische Fehler prüfen
Der Tangens ist nicht definiert, wenn $\cos(x)=0$. Deshalb sind die Stellen
$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{mit }k\in\mathbb{Z}$$
ausgeschlossen. Dort ist auch die Tangensableitung keine Steigung der Ausgangsfunktion.
Achte besonders auf diese Fehler:
- Innere Ableitung vergessen: Aus $\tan(g(x))$ wird nicht nur $\frac{1}{\cos^2(g(x))}$, sondern $\frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}$.
- Argument verändern: Das vollständige Argument bleibt beim äußeren Ableiten erhalten.
- Quadrat vergessen: Im Nenner steht $\cos^2(x)$, nicht nur $\cos(x)$.
- Gradmaß verwenden: Die angegebene Standardformel setzt das Bogenmaß voraus.
- Definitionslücken übersehen: Eine Ableitungsformel darf nur dort als Steigung gedeutet werden, wo die Ausgangsfunktion definiert ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Tangens ableiten
- Grundformel: $\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$
- Herleitung: Tangens als Sinus durch Kosinus, Quotientenregel und $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
- Verkettung: äußere Tangensableitung mal innere Ableitung $g'(x)$
- Regelkombinationen: Faktorregel und Produktregel
- Gültigkeit: Bogenmaß und Ausschlussstellen des Tangens