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Manchmal soll etwas möglichst groß oder möglichst klein werden: maximale Fläche, minimale Kosten, kürzester Weg. Extremwertaufgaben übersetzen solche Situationen in eine Funktion.
- Ich kann Zielgröße und Nebenbedingung unterscheiden.
- Ich kann eine Zielfunktion mit einer Variablen aufstellen.
- Ich kann Ableitungen zur Extremstelle nutzen.
- Ich kann das Ergebnis im Sachzusammenhang prüfen.
Grundidee
Die Rechnung beginnt nicht mit Ableiten, sondern mit Verstehen: Was soll optimiert werden, und welche Bedingung begrenzt die Situation?
Extremwertaufgabe
Eine Extremwertaufgabe sucht den größten oder kleinsten Wert einer Größe unter einer Bedingung. Mathematisch bestimmst du dazu ein Maximum oder Minimum einer Funktion.
Die Zielgröße wird zur Zielfunktion. Eine Nebenbedingung hilft dir, alle übrigen Variablen durch eine einzige Variable zu ersetzen.
Ein Rechteck hat Umfang 20 cm. Maximiere die Fläche.
\(2x+2y=20\), also \(y=10-x\). \(A(x)=x(10-x)=10x-x^2\). \(A'(x)=10-2x\). \(A'(x)=0\) ergibt \(x=5\), also \(y=5\).
Das Quadrat hat die größte Fläche.
Erst modellieren, dann ableiten. Ohne Zielfunktion gibt es keine Extremwertrechnung.
Vorgehen
Standardweg: Skizze, Variablen festlegen, Zielgröße aufschreiben, Nebenbedingung einsetzen, Definitionsbereich beachten, ableiten, kritische Stelle prüfen, Antwortsatz formulieren.
Für \(A(x)=10x-x^2\) ist \(A''(x)=-2\). Weil die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei \(x=5\) ein Maximum vor. Die maximale Fläche ist \(25\,\text{cm}^2\).
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Prüfungsmodus
In Prüfungen zählen Antwortsatz und Einheiten. Prüfe außerdem Randwerte, wenn der Definitionsbereich abgeschlossen ist oder die Situation einen Rand erlaubt.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Extremwertaufgaben sind Modellierungsaufgaben. Du übersetzt die Situation in eine Zielfunktion, findest Kandidaten mit Ableitungen und deutest das Ergebnis im Text.