Mit Google fortfahren
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen lösen
Bei einer Extremwertaufgabe suchst du den größten oder kleinsten möglichen Wert einer Größe – zum Beispiel die größte Fläche bei einer festen Zaunlänge. Der Schlüssel ist, den Sachverhalt zuerst in eine Funktion mit nur einer Variablen zu übersetzen. Danach bestimmst und prüfst du das Extremum.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was soll überhaupt optimiert werden?
Beginne nicht sofort mit dem Ableiten. Frage zuerst: Welche Größe soll möglichst groß oder klein werden?
Diese Größe heißt Zielgröße. Ihre Formel wird anfangs häufig als Hauptbedingung bezeichnet. Für ein Rechteck ist die Fläche beispielsweise
$$A=a\cdot b$$
Eine Nebenbedingung beschreibt, welche Werte überhaupt möglich sind. Soll ein Rechteck vollständig mit 40 m Zaun eingefasst werden, gilt
$$2a+2b=40$$
Nebenbedingung
Eine Nebenbedingung ist eine vorgegebene Beziehung zwischen den Variablen. Sie schränkt die möglichen Lösungen ein.
Die Zielgröße sagt, was optimiert wird. Die Nebenbedingung sagt, unter welchen Bedingungen das geschieht.
Wie entsteht die Zielfunktion?
Zum Ableiten brauchst du eine Funktion mit nur einer unabhängigen Variablen. Löse deshalb die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setze das Ergebnis in die Formel der Zielgröße ein.
Aus
$$2a+2b=40$$
folgt
$$b=20-a$$
Einsetzen in $A=a\cdot b$ ergibt
$$A(a)=a(20-a)=-a^2+20a$$
Zielfunktion
Die Zielfunktion beschreibt die zu optimierende Größe in Abhängigkeit von nur einer Variablen. Sie entsteht hier durch das Einsetzen der Nebenbedingung in die Formel der Zielgröße.
Auch der Definitionsbereich gehört zum Modell. Seitenlängen dürfen nicht negativ sein. Für das Beispiel gilt daher
$$0\leq a\leq20$$
An den Grenzen $a=0$ und $a=20$ schrumpft das Rechteck zu einer Strecke zusammen.
Wie wird das Extremum vollständig bestimmt?
Jetzt lösen wir die Rechteckaufgabe Schritt für Schritt.
Aufgabe: Welche größte rechteckige Fläche lässt sich mit 40 m Zaun vollständig einzäunen?
- Zielgröße:
$$A=a\cdot b$$
- Nebenbedingung:
$$2a+2b=40$$
- Zielfunktion:
$$b=20-a$$
$$A(a)=-a^2+20a$$
- Stationäre Stelle:
$$A'(a)=-2a+20$$
Eine innere Extremstelle kann nur dort liegen, wo $A'(a)=0$ ist:
$$-2a+20=0$$
$$a=10$$
- Art der Extremstelle:
$$A''(a)=-2$$
Weil $A''(10)<0$ gilt, liegt an dieser Stelle ein lokales Maximum vor.
- Zweite Seitenlänge:
$$b=20-10=10$$
- Zielwert:
$$A=10\cdot10=100$$
Das optimale Rechteck ist ein Quadrat mit den Seitenlängen 10 m. Seine Fläche beträgt 100 m².
Die Gleichung $A'(a)=0$ liefert zunächst nur einen Kandidaten. Erst die zweite Ableitung, ein Vorzeichenwechsel von $A'$ oder ein anderer geeigneter Nachweis zeigt, ob dort tatsächlich ein Maximum oder Minimum liegt.
Warum müssen Randwerte und Kontext geprüft werden?
Ein lokales Maximum ist nicht automatisch der größte Wert im gesamten zulässigen Bereich. Für ein globales Maximum vergleichst du alle zulässigen inneren Kandidaten mit den Randwerten.
Im Rechteckbeispiel ist der Bereich $0\leq a\leq20$. Es gilt
$$A(0)=0$$
$$A(10)=100$$
$$A(20)=0$$
Damit ist 100 m² auch der größte Wert im gesamten zulässigen Bereich.
Prüfe am Ende immer drei Fragen:
- Liegt der gefundene Wert im Definitionsbereich?
- Sind alle Längen, Flächen oder Volumina sachlich zulässig?
- Beantwortet das Ergebnis wirklich die Ausgangsfrage und enthält es die passende Einheit?
Eine vollständige Lösung endet nicht bei $f'(x)=0$. Sie prüft die Extremaleigenschaft, die Randwerte, die Zulässigkeit und die Bedeutung des Ergebnisses.
Kannst du das Verfahren übertragen?
Aufgabe: Ein rechteckiges Grundstück liegt an einem Fluss. Die Flussseite benötigt keinen Zaun. Für die beiden Breiten und die gegenüberliegende Länge stehen insgesamt 48 m Zaun zur Verfügung. Bestimme die Maße mit der größten Fläche.
Lösung zum Vergleich
Der sinnvolle Bereich ist $0\leq x\leq24$. Die Zielfunktion lautet
$$A(x)=x(48-2x)=48x-2x^2$$
Aus $A'(x)=48-4x=0$ folgt $x=12$. Weil die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt ein Maximum vor. Mit $y=48-2\cdot12=24$ erhältst du eine Fläche von 288 m². An den Randstellen entsteht jeweils keine echte Rechtecksfläche. Das Ergebnis ist daher auch global maximal.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Extremwertaufgabe
- Zielgröße erkennen
- Nebenbedingung formulieren
- Zielfunktion mit einer Variablen bilden
- Innere Kandidaten bestimmen und prüfen
- Randwerte vergleichen
- Ergebnis im Sachkontext deuten
Abschluss-Check
Du beherrschst den vollständigen Optimierungszyklus, wenn du den Sachverhalt modellieren, die Zielfunktion untersuchen und das Ergebnis einschließlich Randwerten und Einheit begründet deuten kannst.