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Ein Spiel kann spannend wirken und trotzdem unfair sein. Danach kannst du mit dem Erwartungswert prüfen, ob Gewinn und Einsatz langfristig ausgeglichen sind.
- Ich kann ein faires Spiel in Worten erklären.
- Ich kann den Erwartungswert berechnen.
- Ich kann Gewinn, Verlust und Einsatz unterscheiden.
- Ich kann ein Spiel beurteilen.
Worum es geht
Ein Spiel ist fair, wenn der durchschnittliche Gewinn auf lange Sicht 0 ist. Niemand hat dann einen rechnerischen Vorteil.
Grundbegriff
Der Erwartungswert ist die Summe aus Ergebnis mal Wahrscheinlichkeit: \(E=X_1\cdot P_1+X_2\cdot P_2+\dots\).
Du zahlst 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit \(\frac14\) bekommst du 8 Euro ausgezahlt, sonst 0. Dein Nettogewinn ist dann 6 Euro oder -2 Euro. \(E=\frac14\cdot6+\frac34\cdot(-2)=1{,}5-1{,}5=0\), also fair.
Für Fairness rechnest du mit Nettogewinnen, nicht nur mit Auszahlungen.
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Typische Entscheidung
Viele Aufgaben werden leichter, wenn du zuerst fragst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Einheit oder Form passt dazu?
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Alles auf einen Blick
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Prüfungsmodus
In Prüfungen ist oft die faire Auszahlung gesucht. Setze den Erwartungswert gleich 0 und löse nach der unbekannten Auszahlung oder dem Einsatz.
Zusammenfassung
Ein faires Spiel beurteilst du mit dem Erwartungswert. Wichtig ist die Perspektive: Rechne aus Sicht des Spielers mit Nettogewinnen.