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Faires Spiel mit dem Erwartungswert prüfen
Ein Glücksspiel ist aus Sicht des Spielers fair, wenn der erwartete Reingewinn genau 0 € beträgt. Einzelne Gewinne und Verluste sind trotzdem möglich: Fairness beschreibt den langfristigen Durchschnitt vieler gleichartiger Spiele.
Auf dieser Seite lernst du, finanzielle Ergebnisse eindeutig zu beschreiben, ihren Erwartungswert zu berechnen und ein unfaires Spiel durch eine passende Auszahlung fair zu machen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Netto oder brutto?
Das Wort „Gewinn“ ist mehrdeutig. Kläre deshalb vor jeder Rechnung, ob damit die gesamte Auszahlung oder der Betrag nach Abzug des Einsatzes gemeint ist.
Bruttoauszahlung
Die Bruttoauszahlung ist der gesamte Betrag, den der Spieler nach einem Ergebnis ausgezahlt bekommt. Der Einsatz ist noch nicht abgezogen.
Reingewinn
Der Reingewinn ist die Bruttoauszahlung abzüglich des Einsatzes. Ein Verlust wird als negativer Reingewinn notiert.
Bei einem Einsatz von 3 € und einer Auszahlung von 5 € gilt beispielsweise:
$$5\,€-3\,€=2\,€$$
Die Bruttoauszahlung beträgt 5 €, der Reingewinn 2 €. Wird nichts ausgezahlt, beträgt der Reingewinn $0\,€-3\,€=-3\,€$.
Rechne nicht mit dem unklaren Wort „Gewinn“. Schreibe zuerst ausdrücklich auf, ob deine Zufallsvariable die Bruttoauszahlung oder den Reingewinn beschreibt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einem Einsatz von 3 € und einer Auszahlung von 5 € sind die 5 € die . Nach Abzug des Einsatzes bleiben Reingewinn. Ein faires Spiel hat einen erwarteten Reingewinn von .
So prüfst du die Fairness
Eine Zufallsvariable $X$ ordnet jedem möglichen Spielausgang eine Zahl zu. Für die Fairnessprüfung wählst du als Werte die möglichen Reingewinne des Spielers.
Die Zuordnung der Werte zu ihren Wahrscheinlichkeiten heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Erwartungswert entsteht, indem du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alle Produkte addierst:
$$E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i)$$
Gehe in vier Schritten vor:
- Lege fest, dass $X$ den Reingewinn beschreibt.
- Bestimme alle möglichen Werte von $X$ und ihre Wahrscheinlichkeiten.
- Berechne $E(X)$.
- Deute das Vorzeichen aus Sicht des Spielers.
- $E(X)<0$: Der Spieler verliert langfristig durchschnittlich Geld.
- $E(X)=0$: Das Spiel ist fair.
- $E(X)>0$: Der Spieler hat langfristig einen Vorteil; das Spiel ist ebenfalls nicht neutral.
Der Erwartungswert sagt nicht voraus, was im nächsten Spiel passiert. Er beschreibt den Wert, dem sich der durchschnittliche Reingewinn pro Spiel bei sehr vielen Wiederholungen langfristig annähert.
Beispiel mit zwei Münzwürfen
Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Du tippst auf Wappen und setzt 3 €. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt deinen Reingewinn.
| Ergebnis | Reingewinn $X$ | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| kein Wappen | $-3\,€$ | $0{,}25$ |
| genau ein Wappen | $0\,€$ | $0{,}50$ |
| zwei Wappen | $2\,€$ | $0{,}25$ |
Genau ein Wappen kann auf zwei Wegen auftreten: Wappen–Zahl oder Zahl–Wappen. Deshalb beträgt seine Wahrscheinlichkeit $0{,}25+0{,}25=0{,}50$.
Multipliziere jeden Reingewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit:
$$E(X)=(-3)\cdot0{,}25+0\cdot0{,}50+2\cdot0{,}25$$
$$E(X)=-0{,}75+0+0{,}50=-0{,}25\,€$$
Der erwartete Reingewinn ist negativ. Langfristig verliert der Spieler durchschnittlich 25 Cent pro Runde. Das Spiel ist daher unfair.
Warum Ergebnislisten täuschen können
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Bei einer ungeraden Augensumme gewinnt der Spieler 1 €, bei einer geraden Augensumme verliert er 1 €.
Es gibt fünf mögliche ungerade Summenwerte, nämlich 3, 5, 7, 9 und 11. Dagegen gibt es sechs gerade Summenwerte von 2 bis 12. Trotzdem ist das Spiel fair.
Der Grund: Die Summenwerte sind nicht gleich wahrscheinlich. Gleich wahrscheinlich sind die 36 geordneten Würfelpaare, etwa $(1,2)$ und $(2,1)$.
Zu den geraden Summen gehören insgesamt
$$1+3+5+5+3+1=18$$
Würfelpaare. Zu den ungeraden Summen gehören
$$2+4+6+4+2=18$$
Würfelpaare. Somit gilt für beide Ereignisse:
$$P(\text{gerade})=P(\text{ungerade})=\frac{18}{36}=0{,}5$$
Mit den Reingewinnen $1\,€$ und $-1\,€$ folgt:
$$E(X)=1\cdot0{,}5+(-1)\cdot0{,}5=0\,€$$
Zähle nicht einfach verschiedene Summenwerte. Zähle die zugrunde liegenden gleich wahrscheinlichen Ergebnisse.
So machst du ein Spiel fair
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ein Pasch entsteht, wenn beide Würfe dieselbe Augenzahl zeigen. Dafür gibt es sechs von 36 Würfelpaaren:
$$P(\text{Pasch})=\frac{6}{36}=\frac16$$
Der Einsatz beträgt 1 €. Gesucht ist die Bruttoauszahlung $A$, die das Spiel fair macht.
- Ohne Pasch beträgt der Reingewinn $-1\,€$.
- Bei einem Pasch beträgt er $(A-1)\,€$.
Setze den erwarteten Reingewinn gleich null:
$$(-1)\cdot\frac56+(A-1)\cdot\frac16=0$$
Multipliziere die Gleichung mit 6:
$$-5+A-1=0$$
Daraus folgt:
$$A=6\,€$$
Im Gewinnfall müssen also 6 € brutto ausgezahlt werden. Nach Abzug des Einsatzes bleiben 5 € Reingewinn.
Die Formulierung „Du gewinnst 2 €“ wäre hier zu ungenau:
- Sind 2 € die Bruttoauszahlung, beträgt der Reingewinn beim Pasch 1 €. Dann ist $E(X)=-\frac23\,€$.
- Sind 2 € bereits der Reingewinn, beträgt $E(X)=-\frac12\,€$.
Beide Deutungen führen zu einem unfairen Spiel, aber zu verschiedenen Erwartungswerten. Deshalb muss die Bedeutung des Geldbetrags vor der Rechnung feststehen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Faires Spiel
- Reingewinn
- Erwartungswert gleich 0 €
- Bruttoauszahlung minus Einsatz
- Erwartungswert
- Werte mit Wahrscheinlichkeiten gewichten
- langfristigen Durchschnitt deuten
- Wahrscheinlichkeiten
- gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen
- nicht nur verschiedene Summenwerte zählen
- Spielregel anpassen
- Einsatz oder Auszahlung verändern
- Brutto und netto eindeutig benennen
- Reingewinn